Контрольная работа «Дробные рациональные 1. Решите уравнение: Уравнения» 1 вариант 6 x² - 5x a) x+1 x+1 x² + 4x 2x + 3 б) x+2 3 3x + x x-1 B) + = 1 x+2 x-2 144 2x г) 1 + x2-36 x+6 2. Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

а) \[\frac{6}{x+1} = \frac{x^2 - 5x}{x+1}\]
Домножим обе части уравнения на (x+1), чтобы избавиться от знаменателя: \[6 = x^2 - 5x\] Перенесем все в одну сторону: \[x^2 - 5x - 6 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\] \[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = -1\] Однако, x = -1 не является решением, так как при этом знаменатель обращается в ноль. Следовательно, единственное решение: \[x = 6\]

б) \[\frac{x^2 + 4x}{x+2} = \frac{2x + 3}{3}\] Умножим обе части на 3(x+2), чтобы избавиться от знаменателей: \[3(x^2 + 4x) = (2x + 3)(x+2)\] Раскроем скобки: \[3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x + 3x + 6\] \[3x^2 + 12x = 2x^2 + 7x + 6\] Перенесем все в одну сторону: \[x^2 + 5x - 6 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\] \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = -6\] Оба корня удовлетворяют условию, следовательно: \[x_1 = 1, x_2 = -6\]

в) \[\frac{3x}{x+2} + \frac{x}{x-2} = 1\] Умножим обе части на (x+2)(x-2), чтобы избавиться от знаменателей: \[3x(x-2) + x(x+2) = (x+2)(x-2)\] Раскроем скобки: \[3x^2 - 6x + x^2 + 2x = x^2 - 4\] \[4x^2 - 4x = x^2 - 4\] Перенесем все в одну сторону: \[3x^2 - 4x + 4 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 - 48 = -32\] Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. \[x \in \emptyset\]

г) \[1 + \frac{144}{x^2-36} = \frac{2x}{x+6}\] \[1 + \frac{144}{(x-6)(x+6)} = \frac{2x}{x+6}\] Умножим обе части на (x-6)(x+6), чтобы избавиться от знаменателей: \[(x-6)(x+6) + 144 = 2x(x-6)\] \[x^2 - 36 + 144 = 2x^2 - 12x\] \[x^2 + 108 = 2x^2 - 12x\] Перенесем все в одну сторону: \[x^2 - 12x - 108 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 144 + 432 = 576\] \[x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 24}{2} = 18\] \[x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 24}{2} = -6\] Однако, x = -6 не является решением, так как при этом знаменатель обращается в ноль. Следовательно, единственное решение: \[x = 18\]

а) x = 6 б) x₁ = 1, x₂ = -6 в) x ∈ ∅ г) x = 18
Скорость лодки в неподвижной воде равна 20 км/ч.

Цифровой атлет! Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке