Контрольная работа «Дробные рациональные уравнения» 1 вариант 1. Решите уравнение: a) 6 x+1 = x² - 5x x+1 б) x² + 4x 2x + 3 x+2 = 3x + x x+2 3 в) + x-1 x-2 = 1 г) 1 + 144 x2-36 = 2x x+6 2. Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

1. Решим уравнение а): \[\frac{6}{x+1} = \frac{x^2 - 5x}{x+1}\]
Умножаем обе части уравнения на \(x+1\), чтобы избавиться от знаменателя: \[6 = x^2 - 5x\] Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[x^2 - 5x - 6 = 0\] Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\). Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = -1\] Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение. Заметим, что \(x = -1\) обращает знаменатель в ноль, поэтому он не является решением. Тогда остается только корень \(x=6\).
Ответ: x = 6

2. Решим уравнение б): \[\frac{x^2 + 4x}{x+2} = \frac{2x + 3}{3}\]
Умножаем обе части уравнения на \(3(x+2)\), чтобы избавиться от знаменателя: \[3(x^2 + 4x) = (2x + 3)(x + 2)\] Раскрываем скобки: \[3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x + 3x + 6\] \[3x^2 + 12x = 2x^2 + 7x + 6\] Переносим все в одну сторону: \[3x^2 - 2x^2 + 12x - 7x - 6 = 0\] \[x^2 + 5x - 6 = 0\] Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\). Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = -6\] Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение. Оба корня не обращают знаменатель в ноль. Тогда решения \(x = 1, x = -6\).
Ответ: x = 1, x = -6

3. Решим уравнение в): \[\frac{3}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 1\]
Приводим к общему знаменателю \((x+2)(x-2)\): \[\frac{3(x-2) + (x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1\] Раскрываем скобки: \[\frac{3x - 6 + x^2 + 2x - x - 2}{x^2 - 4} = 1\] \[\frac{x^2 + 4x - 8}{x^2 - 4} = 1\] Умножаем обе части уравнения на \(x^2 - 4\), чтобы избавиться от знаменателя: \[x^2 + 4x - 8 = x^2 - 4\] Переносим все в одну сторону: \[4x - 8 = -4\] \[4x = 4\] \[x = 1\] Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение. Корень не обращает знаменатель в ноль. Тогда решение \(x = 1\).
Ответ: x = 1

4. Решим уравнение г): \[1 + \frac{144}{x^2 - 36} = \frac{2x}{x+6}\]
Приводим к общему знаменателю \((x^2 - 36) = (x+6)(x-6)\): \[\frac{x^2 - 36 + 144}{x^2 - 36} = \frac{2x}{x+6}\] \[\frac{x^2 + 108}{(x+6)(x-6)} = \frac{2x}{x+6}\] Умножаем обе части уравнения на \((x+6)(x-6)\), чтобы избавиться от знаменателя: \[x^2 + 108 = 2x(x-6)\] \[x^2 + 108 = 2x^2 - 12x\] Переносим все в одну сторону: \[0 = x^2 - 12x - 108\] Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 144 + 432 = 576\). Корни уравнения: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 24}{2} = 18\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 24}{2} = -6\] Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение. Заметим, что \(x = -6\) обращает знаменатель в ноль, поэтому он не является решением. Тогда остается только корень \(x=18\).
Ответ: x = 18

2. Решим задачу про моторную лодку:
Пусть \(v\) - скорость лодки в неподвижной воде (км/ч). Тогда скорость лодки против течения: \(v - 4\) км/ч. Скорость лодки по течению: \(v + 4\) км/ч. Время, затраченное против течения: \(\frac{192}{v - 4}\) часов. Время, затраченное по течению: \(\frac{192}{v + 4}\) часов.
Из условия задачи известно, что время на обратный путь (по течению) на 4 часа меньше, чем на путь против течения. \[\frac{192}{v - 4} - \frac{192}{v + 4} = 4\]
Приводим к общему знаменателю: \[\frac{192(v + 4) - 192(v - 4)}{(v - 4)(v + 4)} = 4\] \[\frac{192v + 768 - 192v + 768}{v^2 - 16} = 4\] \[\frac{1536}{v^2 - 16} = 4\] Умножаем обе части уравнения на \(v^2 - 16\), чтобы избавиться от знаменателя: \[1536 = 4(v^2 - 16)\] \[1536 = 4v^2 - 64\] \[4v^2 = 1600\] \[v^2 = 400\] \[v = \pm 20\] Так как скорость не может быть отрицательной, то берем только положительное значение. Скорость лодки в неподвижной воде: \(v = 20\) км/ч.
Ответ: 20 км/ч