Контрольная работа «Дробные рациональные уравнения» 1 вариант 1. Решите уравнение: a) 6 x+1 = x² - 5x x+1 б) x² + 4x x+2 = 2x + 3 3 в) 3x + x x+2 + x-1 x-2 = 1 г) 1 + 144 x2-36 = 2x x+6 2. Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

а) \[\frac{6}{x+1} = \frac{x^2-5x}{x+1}\]

ОДЗ: x ≠ -1

\[6 = x^2 - 5x\]

\[x^2 - 5x - 6 = 0\]

По теореме Виета:

\[x_1 = -1, x_2 = 6\]

x₁ = -1 не входит в ОДЗ.

Ответ: x = 6

б) \[\frac{x^2+4x}{x+2} = \frac{2x+3}{3}\]

\[3(x^2+4x) = (2x+3)(x+2)\]

\[3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x + 3x + 6\]

\[3x^2 + 12x - 2x^2 - 7x - 6 = 0\]

\[x^2 + 5x - 6 = 0\]

По теореме Виета:

\[x_1 = -6, x_2 = 1\]

Ответ: x₁ = -6, x₂ = 1

в) \[\frac{3x+x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 1\]

\[\frac{4x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = 1\]

ОДЗ: x ≠ -2, x ≠ 2

\[4x(x-2) + (x-1)(x+2) = (x+2)(x-2)\]

\[4x^2 - 8x + x^2 + 2x - x - 2 = x^2 - 4\]

\[5x^2 - 7x - 2 - x^2 + 4 = 0\]

\[4x^2 - 7x + 2 = 0\]

Дискриминант:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 49 - 32 = 17\]

\[x_1 = \frac{7 + \sqrt{17}}{8}, x_2 = \frac{7 - \sqrt{17}}{8}\]

Ответ: x₁ = \(\frac{7 + \sqrt{17}}{8}\), x₂ = \(\frac{7 - \sqrt{17}}{8}\)

г) \[1 + \frac{144}{x^2-36} = \frac{2x}{x+6}\]

ОДЗ: x ≠ ±6

\[\frac{x^2-36 + 144}{x^2-36} = \frac{2x}{x+6}\]

\[\frac{x^2 + 108}{x^2-36} = \frac{2x}{x+6}\]

\[(x^2 + 108)(x+6) = 2x(x^2-36)\]

\[x^3 + 6x^2 + 108x + 648 = 2x^3 - 72x\]

\[x^3 - 6x^2 - 180x - 648 = 0\]

Подбором находим корень x = -6 (не подходит по ОДЗ)

Далее можно попробовать разделить на (x+6), но лучше воспользоваться онлайн калькулятором для решения кубических уравнений, чтобы найти остальные корни.

Ответ: x = -6 (не подходит по ОДЗ), поэтому уравнение не имеет решений.