Контрольная работа №7 Формула квадрата суммы, квадрата разности, разности квадратов Вариант 1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида (4а2 - 3)2 2. Запишите в виде квадрата двучлена а² + a + 1 3. Представьте выражение ного вида. (ab)(b+a) в виде многочлена стандарт- 4. Разложите на множители (х + 3y)² - (3x - y)² 5. Даны три натуральных числа. Первое на столько же меньше второго, на сколько третье больше второго. Квадрат второго числа на 64 больше произве- дения первого и третьего чисел. На сколько наибольшее из этих чисел больше наименьшего? 6. Докажите, что значение выражения (3a + 2b)² + (3a - 2b)² - 2(3a + +2b)(2b-3a) - (12a - 1)(3a + 4) + 5(9а - 2) не зависит от значений пе- ременных.

1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида (4a² - 3)²

• Шаг 1: Используем формулу квадрата разности: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
• Шаг 2: Применяем формулу к выражению: \((4a^2 - 3)^2 = (4a^2)^2 - 2 \cdot 4a^2 \cdot 3 + 3^2\).
• Шаг 3: Вычисляем: \(16a^4 - 24a^2 + 9\).

Ответ: \(16a^4 - 24a^2 + 9\)

2. Запишите в виде квадрата двучлена а² + a + 1

Это выражение нельзя представить в виде квадрата двучлена, так как для этого не хватает члена \(\frac{1}{4}\). Квадратным трехчленом был бы, например, \(a^2 + a + \frac{1}{4} = (a + \frac{1}{2})^2\).

Ответ: Нельзя представить в виде квадрата двучлена.

3. Представьте выражение \(\left(\frac{2}{5}a - \frac{3}{7}b\right)\left(\frac{3}{7}b + \frac{2}{5}a\right)\) в виде многочлена стандартного вида.

• Шаг 1: Заметим, что это разность квадратов: \((x - y)(x + y) = x^2 - y^2\).
• Шаг 2: Применяем формулу: \(\left(\frac{2}{5}a - \frac{3}{7}b\right)\left(\frac{2}{5}a + \frac{3}{7}b\right) = \left(\frac{2}{5}a\right)^2 - \left(\frac{3}{7}b\right)^2\).
• Шаг 3: Вычисляем: \(\frac{4}{25}a^2 - \frac{9}{49}b^2\).

Ответ: \(\frac{4}{25}a^2 - \frac{9}{49}b^2\)

4. Разложите на множители (x + 3y)² - (3x - y)²

• Шаг 1: Используем формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
• Шаг 2: Применяем формулу к выражению: \((x + 3y)^2 - (3x - y)^2 = ((x + 3y) - (3x - y))((x + 3y) + (3x - y))\).
• Шаг 3: Упрощаем: \((x + 3y - 3x + y)(x + 3y + 3x - y) = (-2x + 4y)(4x + 2y)\).
• Шаг 4: Выносим общие множители: \(2(-x + 2y) \cdot 2(2x + y) = 4(2y - x)(2x + y)\).

Ответ: \(4(2y - x)(2x + y)\)

5. Даны три натуральных числа. Первое на столько же меньше второго, на сколько третье больше второго. Квадрат второго числа на 64 больше произведения первого и третьего чисел. На сколько наибольшее из этих чисел больше наименьшего?

• Шаг 1: Обозначим числа: пусть первое число \(a\), второе \(b\), третье \(c\).
• Шаг 2: Запишем условия: \(b - a = c - b\), \(b^2 = ac + 64\).
• Шаг 3: Из первого уравнения выразим \(c\): \(c = 2b - a\).
• Шаг 4: Подставим во второе уравнение: \(b^2 = a(2b - a) + 64\).
• Шаг 5: Раскроем скобки: \(b^2 = 2ab - a^2 + 64\).
• Шаг 6: Преобразуем: \(a^2 - 2ab + b^2 = 64\), \((a - b)^2 = 64\).
• Шаг 7: Извлекаем корень: \(a - b = -8\) (т.к. \(a < b\)).
• Шаг 8: Тогда \(b - a = 8\) и \(c - b = 8\), то есть \(c = b + 8\).
• Шаг 9: Следовательно, \(c - a = (b + 8) - (b - 8) = 16\).

Ответ: Наибольшее число больше наименьшего на 16.

6. Докажите, что значение выражения (3a + 2b)² + (3a - 2b)² - 2(3a + +2b)(2b-3a) - (12a - 1)(3a + 4) + 5(9а - 2) не зависит от значений переменных.

• Шаг 1: Раскроем квадраты: \(9a^2 + 12ab + 4b^2 + 9a^2 - 12ab + 4b^2\).
• Шаг 2: Раскроем оставшиеся скобки: \(-2(6b^2 - 9a^2 + 4b^2 - 6ab) - (36a^2 + 48a - 3a - 4) + 45a - 10\).
• Шаг 3: Упростим: \(18a^2 + 8b^2 - 12b^2 + 18a^2 + 12ab - 36a^2 - 45a + 4 + 45a - 10\).
• Шаг 4: Приведем подобные: \((18a^2 + 18a^2 - 36a^2) + (8b^2 - 12b^2) + 12ab - 45a + 45a + 4 - 10 = 0 - 4b^2 + 12ab - 6 = -4b^2 + 12ab - 6 \).
• Шаг 5: Проверим, не потеряли ли мы чего-нибудь. Перепишем выражение: \( (3a + 2b)² + (3a - 2b)² - 2(3a + 2b)(2b-3a) - (12a - 1)(3a + 4) + 5(9а - 2) = 18a^2+8b^2 - (12a-1)(3a+4)-2(6b^2-9a^2+4b^2-6ab)+5(9a-2)=18a^2+8b^2 - 12b^2 + 18a^2 + 12ab-36a^2-48a+3a+4 +45a-10 = 18a^2+8b^2 - 12b^2 + 18a^2 + 12ab-36a^2-48a+3a+4 +45a-10= 12ab-4b^2-6\)
• Шаг 6: Очевидно, что итоговое выражение зависит от переменных. Но перепишем исходное выражение с учетом раскрытия скобок по-другому. \( (3a + 2b)² + (3a - 2b)² - 2(3a + 2b)(2b-3a) - (12a - 1)(3a + 4) + 5(9а - 2)= 18a^2+8b^2 - 2(6b^2-9a^2+4b^2-6ab)-(36a^2+48a-3a-4) + 5(9а - 2) =18a^2+8b^2 -12b^2 + 18a^2 -8b^2 +12ab -36a^2-45a+4+45a-10= -4b^2+12ab-6\)
• Шаг 7: Проверяем еще раз! Упрощаем выражение, раскрывая скобки и приводя подобные члены: \((3a + 2b)^2 + (3a - 2b)^2 - 2(3a + 2b)(2b - 3a) - (12a - 1)(3a + 4) + 5(9a - 2) =\) \(= (9a^2 + 12ab + 4b^2) + (9a^2 - 12ab + 4b^2) - 2(6b^2 - 9a^2 + 4b^2 - 6ab) - (36a^2 + 48a - 3a - 4) + (45a - 10) =\) \(= 18a^2 + 8b^2 - 12b^2 + 18a^2 + 12ab - 36a^2 - 45a + 4 + 45a - 10 = -4b^2 + 12ab - 6\). Видим, что от переменной \(a\) избавиться нельзя, есть зависимость от \(b\), увы...

Ответ: Выражение зависит от переменных.