Контрольная работа "Испытания Бернулли. Случайная величина" Вариант 2 1. Выберите неверное (ые) утверждение(я): а) В серии испытаний Бернулли вероятность наступления удачи р такая, что р є [0; 1]. б) В серии испытаний Бернулли вероятность успеха не меняется на протяжении всего опыта. в) Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины Х - произведение суммы значений случайной величины Х на сумму соответствующих им вероятностей. 2. Дан ряд распределения случайной величины Х. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. X P 2 0.2 3 0.2 4 0,6 на 3. Дана случайная величина Z, представляющая количество баллов заработанных некоторым студентом экзамене. Оцените вероятность того, что значение случайной величины 2 будет отклоняться от ее математического ожидания менее, чем на 6 баллов, если М(Z) = 5, a D(Z) = 12. 4. Вероятность успеха в одном испытании Бернулли равна 0,4. Испытания проводят до тех пор, пока не наступит успех. Какова вероятность того, что первый успех произойдет на третьем испытании? 5. Дима выбирает из коробки, в которой лежат 3 белых и 2 черных шара один шар случайным образом и возвращает его обратно. Он повторяет этот опыт три раза. Составьте закон распределения случайной величины Х - числа вынутых Димой белых шаров. Постройте полигон распределения случайной величины Х.

Ответ: Вариант 2

1. Выберите неверное(ые) утверждение(я):

• а) В серии испытаний Бернулли вероятность наступления удачи p такая, что p ∈ [0; 1]. - Верно (p может быть любым числом от 0 до 1).
• б) В серии испытаний Бернулли вероятность успеха не меняется на протяжении всего опыта. - Верно (одно из основных условий схемы Бернулли).
• в) Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины X - произведение суммы значений случайной величины X на сумму соответствующих им вероятностей. - Неверно (Математическое ожидание — это сумма произведений каждого значения на его вероятность).

2. Дан ряд распределения случайной величины X. Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Математическое ожидание:

\[ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = 2 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.6 = 0.4 + 0.6 + 2.4 = 3.4 \]

Дисперсия:

\[ D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - M(X))^2 p_i \] \[ D(X) = (2 - 3.4)^2 \cdot 0.2 + (3 - 3.4)^2 \cdot 0.2 + (4 - 3.4)^2 \cdot 0.6 \] \[ D(X) = (-1.4)^2 \cdot 0.2 + (-0.4)^2 \cdot 0.2 + (0.6)^2 \cdot 0.6 \] \[ D(X) = 1.96 \cdot 0.2 + 0.16 \cdot 0.2 + 0.36 \cdot 0.6 \] \[ D(X) = 0.392 + 0.032 + 0.216 = 0.64 \]

Ответ: M(X) = 3.4, D(X) = 0.64

3. Дана случайная величина Z, представляющая количество баллов, заработанных некоторым студентом на экзамене. Оцените вероятность того, что значение случайной величины Z будет отклоняться от ее математического ожидания менее, чем на 6 баллов, если M(Z) = 5, a D(Z) = 12.

Используем неравенство Чебышева:

\[ P(|Z - M(Z)| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{D(Z)}{\varepsilon^2} \]

Подставляем значения M(Z) = 5, D(Z) = 12, ε = 6:

\[ P(|Z - 5| < 6) \geq 1 - \frac{12}{6^2} = 1 - \frac{12}{36} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Ответ: P(|Z - 5| < 6) ≥ 2/3

4. Вероятность успеха в одном испытании Бернулли равна 0,4. Испытания проводят до тех пор, пока не наступит успех. Какова вероятность того, что первый успех произойдет на третьем испытании?

Вероятность того, что первый успех произойдет на третьем испытании, означает, что первые два испытания были неудачами, а третье - успехом:

\[ P(X = 3) = (1 - p)^2 \cdot p \] \[ P(X = 3) = (1 - 0.4)^2 \cdot 0.4 = (0.6)^2 \cdot 0.4 = 0.36 \cdot 0.4 = 0.144 \]

Ответ: P(X = 3) = 0.144

5. Дима выбирает из коробки, в которой лежат 3 белых и 2 черных шара один шар случайным образом и возвращает его обратно. Он повторяет этот опыт три раза. Составьте закон распределения случайной величины X - числа вынутых Димой белых шаров. Постройте полигон распределения случайной величины X.

Вероятность вытащить белый шар: p = 3/5 = 0.6

Составим закон распределения случайной величины X (число белых шаров):

• X = 0: P(X = 0) = C_3^0 (0.6)^0 (0.4)^3 = 1 * 1 * 0.064 = 0.064
• X = 1: P(X = 1) = C_3^1 (0.6)^1 (0.4)^2 = 3 * 0.6 * 0.16 = 0.288
• X = 2: P(X = 2) = C_3^2 (0.6)^2 (0.4)^1 = 3 * 0.36 * 0.4 = 0.432
• X = 3: P(X = 3) = C_3^3 (0.6)^3 (0.4)^0 = 1 * 0.216 * 1 = 0.216

Полигон распределения: