Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 1 1. Решите уравнение 4х² + 12x = 0. 2. Решите уравнение 4х² – 25 = 0. 3. Решите уравнение х² – 9x + 8 = 0. 4. Решите уравнение 2x² + 4x + 3 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь — 15 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Вариант 1

1. Решим уравнение 4x² + 12x = 0.

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель 4x за скобки:

\[ 4x(x + 3) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0 \]

Отсюда:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -3 \]

Ответ: x = 0, x = -3

2. Решим уравнение 4x² – 25 = 0.

Это также неполное квадратное уравнение. Можно решить двумя способами:

Способ 1: Через дискриминант (хотя это и излишне для данного случая)

Запишем в виде $$ax^2 + bx + c = 0$$, где $$a=4, b=0, c=-25$$.

\[ D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4(4)(-25) = 0 + 400 = 400 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{0 \pm 20}{2 \cdot 4} = \frac{\pm 20}{8} \]

\[ x_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5 \]

\[ x_2 = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5 \]

Способ 2: Через разность квадратов

Заметим, что $$4x^2 = (2x)^2$$ и $$25 = 5^2$$. Используем формулу $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$:

\[ (2x)^2 - 5^2 = 0 \]

\[ (2x - 5)(2x + 5) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ 2x - 5 = 0 \quad \text{или} \quad 2x + 5 = 0 \]

\[ 2x = 5 \quad \text{или} \quad 2x = -5 \]

\[ x = \frac{5}{2} = 2.5 \quad \text{или} \quad x = -\frac{5}{2} = -2.5 \]

Ответ: x = 2.5, x = -2.5

3. Решим уравнение x² – 9x + 8 = 0.

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $$a=1, b=-9, c=8$$.

\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(1)(8) = 81 - 32 = 49 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) \pm 7}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 7}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ x_2 = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Ответ: x = 8, x = 1

4. Решим уравнение 2x² + 4x + 3 = 0.

Это полное квадратное уравнение. Найдем дискриминант.

Коэффициенты: $$a=2, b=4, c=3$$.

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8 \]

Поскольку дискриминант $$D < 0$$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет

5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Пусть меньшее натуральное число равно $$x$$. Тогда большее число равно $$x+6$$.

По условию, их произведение равно 187:

\[ x(x + 6) = 187 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 6x = 187 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 6x - 187 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $$a=1, b=6, c=-187$$.

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-187) = 36 + 748 = 784 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{784} = 28 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 28}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 28}{2} \]

Найдем значения x:

\[ x_1 = \frac{-6 + 28}{2} = \frac{22}{2} = 11 \]

\[ x_2 = \frac{-6 - 28}{2} = \frac{-34}{2} = -17 \]

Так как числа натуральные, мы выбираем положительный корень $$x = 11$$.

Меньшее число равно 11.

Большее число равно $$x + 6 = 11 + 6 = 17$$.

Проверка: $$11 \times 17 = 187$$. Всё верно.

Ответ: 11 и 17

6. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь — 15 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $$P = 2(a+b)$$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $$S = ab$$.

По условию:

\[ 2(a+b) = 16 \]

\[ ab = 15 \]

Из первого уравнения упростим:

\[ a+b = \frac{16}{2} \]

\[ a+b = 8 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 8 \\ ab = 15 \end{cases} \]

Это значит, что $$a$$ и $$b$$ являются корнями квадратного уравнения вида $$t^2 - (a+b)t + ab = 0$$.

Подставляем значения:

\[ t^2 - 8t + 15 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(15) = 64 - 60 = 4 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \]

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) \pm 2}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 2}{2} \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ t_2 = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Значит, стороны прямоугольника равны 5 см и 3 см.

Проверка: Периметр $$2(5+3) = 2(8) = 16$$ см. Площадь $$5 \times 3 = 15$$ см². Всё верно.

Ответ: 3 см и 5 см