Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 2 1. Решите уравнение 6х² + 18x = 0. 2. Решите уравнение 4х² – 9 = 0. 3. Решите уравнение х² - 8х + 7 = 0. 4. Решите уравнение 3х² + 5x + 6 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого равно 84. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Вариант 2

1. Решим уравнение 6x² + 18x = 0.

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель 6x за скобки:

\[ 6x(x + 3) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ 6x = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0 \]

Отсюда:

\[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -3 \]

Ответ: x = 0, x = -3

2. Решим уравнение 4x² – 9 = 0.

Это неполное квадратное уравнение. Используем формулу разности квадратов $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$.

Заметим, что $$4x^2 = (2x)^2$$ и $$9 = 3^2$$.

\[ (2x)^2 - 3^2 = 0 \]

\[ (2x - 3)(2x + 3) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ 2x - 3 = 0 \quad \text{или} \quad 2x + 3 = 0 \]

\[ 2x = 3 \quad \text{или} \quad 2x = -3 \]

\[ x = \frac{3}{2} = 1.5 \quad \text{или} \quad x = -\frac{3}{2} = -1.5 \]

Ответ: x = 1.5, x = -1.5

3. Решим уравнение x² - 8x + 7 = 0.

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $$a=1, b=-8, c=7$$.

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(7) = 64 - 28 = 36 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{36} = 6 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) \pm 6}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6}{2} \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Ответ: x = 7, x = 1

4. Решим уравнение 3x² + 5x + 6 = 0.

Это полное квадратное уравнение. Найдем дискриминант.

Коэффициенты: $$a=3, b=5, c=6$$.

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(3)(6) = 25 - 72 = -47 \]

Поскольку дискриминант $$D < 0$$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет

5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого равно 84. Найдите эти числа.

Пусть меньшее натуральное число равно $$x$$. Тогда большее число равно $$x+5$$.

По условию, их произведение равно 84:

\[ x(x + 5) = 84 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 5x = 84 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 5x - 84 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $$a=1, b=5, c=-84$$.

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(-84) = 25 + 336 = 361 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{361} = 19 \]

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 19}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 19}{2} \]

Найдем значения x:

\[ x_1 = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

\[ x_2 = \frac{-5 - 19}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \]

Так как числа натуральные, мы выбираем положительный корень $$x = 7$$.

Меньшее число равно 7.

Большее число равно $$x + 5 = 7 + 5 = 12$$.

Проверка: $$7 \times 12 = 84$$. Всё верно.

Ответ: 7 и 12

6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $$P = 2(a+b)$$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $$S = ab$$.

По условию:

\[ 2(a+b) = 22 \]

\[ ab = 24 \]

Из первого уравнения упростим:

\[ a+b = \frac{22}{2} \]

\[ a+b = 11 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 11 \\ ab = 24 \end{cases} \]

Это значит, что $$a$$ и $$b$$ являются корнями квадратного уравнения вида $$t^2 - (a+b)t + ab = 0$$.

Подставляем значения:

\[ t^2 - 11t + 24 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4(1)(24) = 121 - 96 = 25 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{25} = 5 \]

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-11) \pm 5}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm 5}{2} \]

Найдем корни:

\[ t_1 = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ t_2 = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Значит, стороны прямоугольника равны 8 см и 3 см.

Проверка: Периметр $$2(8+3) = 2(11) = 22$$ см. Площадь $$8 \times 3 = 24$$ см². Всё верно.

Ответ: 3 см и 8 см