Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 2 1. Решите уравнение 6х2 + 18x = 0. 2. Решите уравнение 4х2 – 9 = 0. 2 3. Решите уравнение х² - 8х + 7 = 0. 4. Решите уравнение х² + 12x² - 64 = 0 1 3 1 5. Решите уравнение 3-х 20 х 6. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого равно 84. Найдите эти числа. 7. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь — 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника 6)

1. Решите уравнение $$6x^2 + 18x = 0$$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$$6x(x + 3) = 0$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

$$6x = 0$$ или $$x + 3 = 0$$ $$x = 0$$ или $$x = -3$$

Ответ: -3; 0

2. Решите уравнение $$4x^2 - 9 = 0$$.

Разность квадратов:

$$(2x - 3)(2x + 3) = 0$$ $$2x - 3 = 0$$ или $$2x + 3 = 0$$ $$2x = 3$$ или $$2x = -3$$ $$x = 1.5$$ или $$x = -1.5$$

Ответ: -1.5; 1.5

3. Решите уравнение $$x^2 - 8x + 7 = 0$$.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 8$$ $$x_1 \cdot x_2 = 7$$

Подбором находим корни: $$x_1 = 1, x_2 = 7$$.

Ответ: 1; 7

4. Решите уравнение $$x^2 + 12x^2 - 64 = 0$$.

Приведем подобные слагаемые:

$$13x^2 - 64 = 0$$ $$13x^2 = 64$$ $$x^2 = \frac{64}{13}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{64}{13}} = \pm \frac{8}{\sqrt{13}} = \pm \frac{8\sqrt{13}}{13}$$

Ответ: $$\frac{8\sqrt{13}}{13}$$; $$-\frac{8\sqrt{13}}{13}$$

5. Решите уравнение $$\frac{1}{3-x} = \frac{1}{20x}$$.

Общий знаменатель: $$20x(3-x)$$.

Домножаем обе части уравнения на общий знаменатель:

$$20x = 3 - x$$ $$21x = 3$$ $$x = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$$

Ответ: $$\frac{1}{7}$$

6. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого равно 84. Найдите эти числа.

Пусть $$x$$ - первое число, тогда $$x + 5$$ - второе число.

Составим уравнение:

$$x(x + 5) = 84$$ $$x^2 + 5x - 84 = 0$$

Вычислим дискриминант: $$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$$

$$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{361}}{2} = \frac{-5 + 19}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{361}}{2} = \frac{-5 - 19}{2} = -12$$ (не подходит, т.к. число натуральное)

Тогда первое число равно 7, а второе: $$7 + 5 = 12$$.

Ответ: 7; 12

7. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь — 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Пусть $$x$$ и $$y$$ - длины сторон прямоугольника.

Периметр: $$2(x + y) = 22$$

Площадь: $$xy = 24$$

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} 2(x + y) = 22 \\ xy = 24 \end{cases}$$ $$\begin{cases} x + y = 11 \\ xy = 24 \end{cases}$$

Выразим $$y$$ из первого уравнения: $$y = 11 - x$$

Подставим во второе уравнение:

$$x(11 - x) = 24$$ $$11x - x^2 = 24$$ $$x^2 - 11x + 24 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 11$$ $$x_1 \cdot x_2 = 24$$

Подбором находим корни: $$x_1 = 3, x_2 = 8$$

Если $$x = 3$$, то $$y = 11 - 3 = 8$$

Если $$x = 8$$, то $$y = 11 - 8 = 3$$

Длины сторон: 3 см и 8 см.

Ответ: 3 см; 8 см