Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 2 1. Решите уравнение 6х2 + 18x = 0. 2. Решите уравнение 4х2 - 9 = 0. 3. Решите уравнение х2 – 8х + 7 = 0. 4. Решите уравнение 3х2 + 5x + 6 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого равно 84. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь — 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Решим задачи.

1. Решите уравнение $$6x^2 + 18x = 0$$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$$6x(x + 3) = 0$$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$6x = 0$$ или $$x + 3 = 0$$.

Решим каждое уравнение:

$$x = 0$$ или $$x = -3$$.

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = -3$$.

2. Решите уравнение $$4x^2 - 9 = 0$$.

Разложим на множители, используя формулу разности квадратов:

$$(2x - 3)(2x + 3) = 0$$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$2x - 3 = 0$$ или $$2x + 3 = 0$$.

Решим каждое уравнение:

$$2x = 3$$ или $$2x = -3$$. $$x = \frac{3}{2} = 1.5$$ или $$x = -\frac{3}{2} = -1.5$$.

Ответ: $$x_1 = 1.5, x_2 = -1.5$$.

3. Решите уравнение $$x^2 - 8x + 7 = 0$$.

Найдем дискриминант:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$$.

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$$. $$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$.

Ответ: $$x_1 = 7, x_2 = 1$$.

4. Решите уравнение $$3x^2 + 5x + 6 = 0$$.

Найдем дискриминант:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47$$.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 84. Найдите эти числа.

Пусть $$x$$ - первое число, тогда $$x + 5$$ - второе число. Их произведение равно 84:

$$x(x + 5) = 84$$. $$x^2 + 5x - 84 = 0$$.

Найдем дискриминант:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$$.

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7$$. $$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 19}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$.

Так как числа натуральные, то подходит только $$x_1 = 7$$. Тогда второе число равно $$7 + 5 = 12$$.

Ответ: 7 и 12.

6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь — 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - длины сторон прямоугольника. Тогда периметр равен $$2(a + b) = 22$$, а площадь $$a \cdot b = 24$$.

Выразим $$b$$ из первого уравнения: $$a + b = 11$$, $$b = 11 - a$$.

Подставим во второе уравнение: $$a(11 - a) = 24$$.

$$11a - a^2 = 24$$. $$a^2 - 11a + 24 = 0$$.

Найдем дискриминант:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$$.

Найдем корни:

$$a_1 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$. $$a_2 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$.

Если $$a = 8$$, то $$b = 11 - 8 = 3$$. Если $$a = 3$$, то $$b = 11 - 3 = 8$$.

Ответ: 3 см и 8 см.