Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 4 1. Решите уравнение 6x² + 18x = 0. 2. Решите уравнение 4х2 – 9 = 0. 3. Решите уравнение х² – 10x + 9 = 0. 4. Решите уравнение 3х2 + 6x + 5 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа. см². Найдите длины сторон прямоугольника 6. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь - 24

Решим данные уравнения:

1. Решите уравнение $$6x^2 + 18x = 0$$.
   Вынесем общий множитель за скобки:
   $$6x(x+3)=0$$
   Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
   $$6x=0$$ или $$x+3=0$$
   $$x=0$$ или $$x=-3$$
   Ответ: $$x_1=0, x_2=-3$$.
2. Решите уравнение $$4x^2 - 9 = 0$$.
   Разложим на множители, используя формулу разности квадратов:
   $$(2x-3)(2x+3) = 0$$
   $$2x-3=0$$ или $$2x+3=0$$
   $$2x=3$$ или $$2x=-3$$
   $$x=\frac{3}{2}=1.5$$ или $$x=-\frac{3}{2}=-1.5$$
   Ответ: $$x_1 = 1.5, x_2 = -1.5$$.
3. Решите уравнение $$x^2 - 10x + 9 = 0$$.
   Найдем дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$$
   Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:
   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$
   Ответ: $$x_1 = 9, x_2 = 1$$.
4. Решите уравнение $$3x^2 + 6x + 5 = 0$$.
   Найдем дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24$$
   Так как $$D < 0$$, уравнение не имеет действительных корней.
   Ответ: нет действительных решений.
5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа.
   Пусть первое число $$x$$, тогда второе число $$x+7$$. По условию задачи их произведение равно 144. Составим уравнение:
   $$x(x+7) = 144$$
   $$x^2 + 7x - 144 = 0$$
   Найдем дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625$$
   Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:
   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 25}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$
   Так как числа натуральные, то подходит только $$x_1 = 9$$. Тогда второе число $$x_1 + 7 = 9 + 7 = 16$$.
   Ответ: 9 и 16.
6. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь - 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.
   Пусть одна сторона равна $$x$$, тогда другая сторона равна $$y$$. По условию задачи периметр равен 20 см, а площадь - 24 см². Составим систему уравнений:
   $$\begin{cases} 2(x+y) = 20 \\ x \cdot y = 24 \end{cases}$$
   $$\begin{cases} x+y = 10 \\ xy = 24 \end{cases}$$
   Выразим $$y$$ из первого уравнения:
   $$y = 10-x$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$x(10-x) = 24$$
   $$10x - x^2 = 24$$
   $$x^2 - 10x + 24 = 0$$
   Найдем дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$$
   Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:
   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$$
   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
   Если $$x=6$$, то $$y = 10-6 = 4$$. Если $$x=4$$, то $$y = 10-4 = 6$$.
   Ответ: 6 см и 4 см.