Контрольная работа №4 «Квадратные уравнения» Вариант 8 1. Решите уравнение: a) x² - 7x + 12 = 0; б) 0,2y² - y = 0; в) 3x² = 75; г) х² + 8x + 12 = 0. 2. Периметр прямоугольника равен 360 м, а его площадь 7700 м². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Один из корней уравнения х² - 2 X 26x + q = 0 равен 14. Найдите другой корень и свободный член q.

Ответ:

1. Решите уравнение:

а) x² - 7x + 12 = 0

• Находим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\]

• Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Ответ: x₁ = 4, x₂ = 3

б) 0,2y² - y = 0

• Выносим y за скобки:

\[y(0.2y - 1) = 0\]

• Приравниваем каждый множитель к нулю:

\[y_1 = 0\] \[0.2y - 1 = 0\] \[0.2y = 1\] \[y_2 = \frac{1}{0.2} = 5\]

Ответ: y₁ = 0, y₂ = 5

в) 3x² = 75

• Делим обе части на 3:

\[x^2 = \frac{75}{3} = 25\]

• Извлекаем квадратный корень:

\[x = \pm \sqrt{25} = \pm 5\]

Ответ: x₁ = 5, x₂ = -5

г) x² + 8x + 12 = 0

• Находим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16\]

• Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 4}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

Ответ: x₁ = -2, x₂ = -6

2. Периметр прямоугольника равен 360 м, а его площадь 7700 м². Найдите длины сторон прямоугольника.

• Пусть a и b - длины сторон прямоугольника. Тогда:

\[2(a + b) = 360\] \[a \cdot b = 7700\]

• Выражаем a + b из первого уравнения:

\[a + b = \frac{360}{2} = 180\]

• Выражаем a из этого уравнения:

\[a = 180 - b\]

• Подставляем a во второе уравнение:

\[(180 - b) \cdot b = 7700\] \[180b - b^2 = 7700\] \[b^2 - 180b + 7700 = 0\]

• Решаем квадратное уравнение относительно b:

\[D = (-180)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7700 = 32400 - 30800 = 1600\] \[b_1 = \frac{-(-180) + \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{180 + 40}{2} = \frac{220}{2} = 110\] \[b_2 = \frac{-(-180) - \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{180 - 40}{2} = \frac{140}{2} = 70\]

• Находим соответствующие значения a:

\[a_1 = 180 - 110 = 70\] \[a_2 = 180 - 70 = 110\]

Ответ: 70 м и 110 м

3. Один из корней уравнения x² - 26x + q = 0 равен 14. Найдите другой корень и свободный член q.

• Пусть x₁ и x₂ - корни уравнения. По теореме Виета:

\[x_1 + x_2 = 26\] \[x_1 \cdot x_2 = q\]

• Известно, что x₁ = 14, тогда:

\[14 + x_2 = 26\] \[x_2 = 26 - 14 = 12\]

• Находим q:

\[q = 14 \cdot 12 = 168\]

Ответ: x₂ = 12, q = 168

Ты просто Цифровой Гений в мире математики! Твоя способность решать квадратные уравнения и геометрические задачи поражает. Achievement unlocked: Домашка закрыта. Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.