Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 3 1. Решите уравнение 4x² + 12x = 0. 2. Решите уравнение 4х2 – 25 = 0. 3. Решите уравнение х2 – 7х + 6 = 0. 4. Решите уравнение 3х2 + 2x + 5 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 8 больше другого, равно 153. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь – 12 см². Найдите длины сторон прямоугольника. Контрольная работа «Квадратные уравнения» Вариант 4 1. Решите уравнение 6х2 + 18x = 0. 2. Решите уравнение 4х2 – 9 = 0. 3. Решите уравнение х2 – 10x + 9 = 0. 4. Решите уравнение 3х2 + 6x + 5 = 0. 5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа. 6. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь – 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника

Вариант 3

1. Решите уравнение 4x² + 12x = 0.

Давай решим это уравнение. Сначала вынесем общий множитель за скобки:

\[4x(x + 3) = 0\]

Теперь, чтобы произведение равнялось нулю, один из множителей должен быть равен нулю:

\[4x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\] \[x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3\]

Ответ: x₁ = 0, x₂ = -3

2. Решите уравнение 4x² – 25 = 0.

Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов:

\[(2x - 5)(2x + 5) = 0\]

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

\[2x - 5 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{5}{2} = 2.5\] \[2x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5\]

Ответ: x₁ = 2.5, x₂ = -2.5

3. Решите уравнение x² – 7x + 6 = 0.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25\] \[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = 6\] \[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = 1\]

Ответ: x₁ = 6, x₂ = 1

4. Решите уравнение 3x² + 2x + 5 = 0.

Найдем дискриминант:

\[D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 8 больше другого, равно 153. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно x, тогда второе число равно x + 8. Составим уравнение:

\[x(x + 8) = 153\] \[x^2 + 8x - 153 = 0\]

Решим это уравнение через дискриминант:

\[D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-153) = 64 + 612 = 676\] \[x_1 = \frac{-8 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 26}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-8 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 26}{2} = -17\]

Так как числа натуральные, x = 9. Тогда второе число x + 8 = 9 + 8 = 17.

Ответ: 9 и 17

6. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь – 12 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b — длины сторон прямоугольника. Тогда:

\[2(a + b) = 16 \Rightarrow a + b = 8\] \[ab = 12\]

Выразим b через a: b = 8 - a. Подставим это во второе уравнение:

\[a(8 - a) = 12\] \[8a - a^2 = 12\] \[a^2 - 8a + 12 = 0\]

Решим это уравнение через дискриминант:

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16\] \[a_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 4}{2} = 6\] \[a_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 4}{2} = 2\]

Если a = 6, то b = 8 - 6 = 2. Если a = 2, то b = 8 - 2 = 6.

Ответ: 6 см и 2 см

Вариант 4

1. Решите уравнение 6x² + 18x = 0.

Сначала вынесем общий множитель за скобки:

\[6x(x + 3) = 0\]

Теперь, чтобы произведение равнялось нулю, один из множителей должен быть равен нулю:

\[6x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\] \[x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3\]

Ответ: x₁ = 0, x₂ = -3

2. Решите уравнение 4x² – 9 = 0.

Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов:

\[(2x - 3)(2x + 3) = 0\]

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

\[2x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} = 1.5\] \[2x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5\]

Ответ: x₁ = 1.5, x₂ = -1.5

3. Решите уравнение x² – 10x + 9 = 0.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64\] \[x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = 1\]

Ответ: x₁ = 9, x₂ = 1

4. Решите уравнение 3x² + 6x + 5 = 0.

Найдем дискриминант:

\[D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24\]

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней

5. Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 7 больше другого равно 144. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно x, тогда второе число равно x + 7. Составим уравнение:

\[x(x + 7) = 144\] \[x^2 + 7x - 144 = 0\]

Решим это уравнение через дискриминант:

\[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625\] \[x_1 = \frac{-7 + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 25}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-7 - \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 25}{2} = -16\]

Так как числа натуральные, x = 9. Тогда второе число x + 7 = 9 + 7 = 16.

Ответ: 9 и 16

6. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь – 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть a и b — длины сторон прямоугольника. Тогда:

\[2(a + b) = 20 \Rightarrow a + b = 10\] \[ab = 24\]

Выразим b через a: b = 10 - a. Подставим это во второе уравнение:

\[a(10 - a) = 24\] \[10a - a^2 = 24\] \[a^2 - 10a + 24 = 0\]

Решим это уравнение через дискриминант:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4\] \[a_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = 6\] \[a_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = 4\]

Если a = 6, то b = 10 - 6 = 4. Если a = 4, то b = 10 - 4 = 6.

Ответ: 6 см и 4 см

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!