Контрольная работа №3 Многогранники Вариант І Часть А 1) Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 5см и катетом 4см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая наименьший катет квадрат. 2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8см, и образует угол 30 градусов с плоскостью основания. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности. Часть Б 1) Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 48 и 20 см. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности. 2) Диагональ основания правильной пирамиды МАВСД равна 6, а высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Ответ:

Часть A

1)

Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см и катетом 4 см. Найдем второй катет по теореме Пифагора:

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}\]

Пусть наименьший катет (3 см) является стороной квадрата, тогда высота призмы равна 3 см.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней:

\[S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (3 + 4 + 5) \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 36 \text{ см}^2\]

Ответ: 36 см²

2)

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8 см и образует угол 30 градусов с плоскостью основания.

а) Найдем высоту пирамиды:

Высота пирамиды является катетом прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром и высотой, противолежащим углу 30 градусов. Поэтому:

\[h = l \cdot sin(30°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}\]

б) Найдем площадь боковой поверхности:

Основание пирамиды - квадрат. Диагональ квадрата равна:

\[d = l \cdot cos(30°) \cdot 2 = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = 8\sqrt{3} \text{ см}\]

Сторона квадрата равна:

\[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6} \text{ см}\]

Апофема пирамиды (высота боковой грани) равна:

\[\alpha = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{4\sqrt{6}}{2})^2} = \sqrt{16 + (2\sqrt{6})^2} = \sqrt{16 + 24} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ см}\]

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot \alpha = \frac{1}{2} (4 \cdot 4\sqrt{6}) \cdot 2\sqrt{10} = 16 \sqrt{60} = 32\sqrt{15} \text{ см}^2\]

Ответ: а) 4 см, б) 32\sqrt{15} см²

Часть Б

1)

Основание прямого параллелепипеда - ромб с диагоналями 48 и 20 см. Большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдем площадь полной поверхности.

Сторона ромба равна:

\[a = \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \frac{1}{2} \sqrt{48^2 + 20^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2304 + 400} = \frac{1}{2} \sqrt{2704} = \frac{1}{2} \cdot 52 = 26 \text{ см}\]

Высота параллелепипеда равна большей диагонали основания, так как угол между ними 45 градусов:

\[h = d_1 = 48 \text{ см}\]

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна:

\[S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4 \cdot 26) \cdot 48 = 104 \cdot 48 = 4992 \text{ см}^2\]

Площадь основания (ромба) равна:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 20 = 480 \text{ см}^2\]

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна:

\[S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 4992 + 2 \cdot 480 = 4992 + 960 = 5952 \text{ см}^2\]

Ответ: 5952 см²

2)

Диагональ основания правильной пирамиды МАВСД равна 6, а высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Сторона квадрата в основании пирамиды равна:

\[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\]

Апофема пирамиды равна:

\[\alpha = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{4^2 + (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{16 + \frac{9 \cdot 2}{4}} = \sqrt{16 + \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{32 + 9}{2}} = \sqrt{\frac{41}{2}} = \frac{\sqrt{82}}{2}\]

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot \alpha = \frac{1}{2} (4 \cdot 3\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{82}}{2} = 3\sqrt{164} = 6\sqrt{41} \text{ см}^2\]

Ответ: 6\sqrt{41} см²

Ответ: