Контрольная работа. «Многогранники». Вариант 1. 1.Основание прямой призмы-прямоугольный треугольник с катетами бсм и 8см. Найти площадь боковой поверхности призмы, если её наибольшая боковая грань — квадрат. 2. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найти высоту пирамиды. б) Найти площадь боковой поверхности пирамиды. 3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Построить сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBCи найти площадь этого сечения. 4. Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 10 и 24 см. меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью угол 45°. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

Вариант 1

1. Основание прямой призмы-прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Найти площадь боковой поверхности призмы, если её наибольшая боковая грань — квадрат.

• Найдем гипотенузу основания призмы по теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\]

• Т.к. наибольшая боковая грань – квадрат, то высота призмы равна 10 см.
• Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней:

\[S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240 \text{ см}^2\]

Площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{бок} = 6 \cdot 10 + 8 \cdot 10 + 10 \cdot 10 = 60 + 80 + 100 = 240 \text{ см}^2\]

Т.к. наибольшая боковая грань – квадрат, то площадь боковой поверхности призмы равна:

\[S_{бок} = 240/2 = 120 \text{ см}^2\]

Площадь боковой поверхности призмы равна:

\[S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 24 \cdot 5 = 120 \text{ см}^2\]

Ответ: 120 см²

2. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.

а) Найти высоту пирамиды.

б) Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром.
• Т.к. угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то этот треугольник равнобедренный, и высота пирамиды равна половине диагонали основания.
• Пусть a – сторона основания пирамиды, тогда диагональ основания равна a√2, а половина диагонали равна a√2/2.
• Тогда высота пирамиды h = a√2/2.
• По теореме Пифагора:

\[h^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = 4^2\] \[(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = 16\] \[2(\frac{a^2 \cdot 2}{4}) = 16\] \[a^2 = 16\] \[a = 4 \text{ см}\] \[h = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}\]

а) Высота пирамиды:

\[h = 2\sqrt{2} \text{ см}\]

• Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней.
• Т.к. пирамида правильная, то все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
• Площадь каждого треугольника равна половине произведения основания на высоту.
• Высоту боковой грани найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой боковой грани, половиной стороны основания и боковым ребром:

\[l = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см}\] \[S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2\]

б) Площадь боковой поверхности пирамиды:

\[S_{бок} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2\]

Ответ: а) 2√2 см, б) 16√2 см²

3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Построить сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBCи найти площадь этого сечения.

• Сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC, – это средняя линия треугольника ADC.
• Т.к. тетраэдр правильный, то все его грани – равные равносторонние треугольники.
• Площадь равностороннего треугольника со стороной a равна:

\[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

• Сечение тетраэдра – это равносторонний треугольник со стороной a/2.
• Площадь сечения равна:

\[S = \frac{(\frac{a}{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}\]

Ответ: a²/8

4. Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 10 и 24 см. меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью угол 45°. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \text{ см}^2\]

• Сторона ромба равна:

\[a = \sqrt{(\frac{10}{2})^2 + (\frac{24}{2})^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}\]

• Т.к. меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью угол 45°, то высота параллелепипеда равна меньшей диагонали основания:

\[h = 12 \text{ см}\]

• Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна:

\[S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4 \cdot 13 \cdot 12 = 624 \text{ см}^2\]

• Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей боковой поверхности и двух площадей основания:

\[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 624 + 2 \cdot 60 = 624 + 120 = 744 \text{ см}^2\]

Ответ: 120(√2 + 1) см²