Контрольная работа на тему «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» Івариант 1.В треугольнике АВС известно, что ∠C= 90°, АВ = 25 см, ВС 20 см. Найдите: 1) cos-B; 2) tg A. 2.В прямоугольном треугольнике ABC (∠C= 90°) известно, что АB 15 см, sin A = 0,6. Найдите катет ВС. 3. Найдите значение выражения sin² 16° + cos² 16°-sin² 60°. 4. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника. 5. Высота BD треугольника АВС делит сторону АС на отрезки AD и CD, BC = 6 см, ∠A = 30", ∠CBD = 45°. Найдите отрезок AD.

1 вариант

1. В треугольнике ABC, где ∠C = 90°, AB = 25 см, BC = 20 см, найдем cos B и tg A.

   • Сначала найдем AC по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\] см
   • Теперь найдем cos B: \[cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} = 0.8\]
   • Найдем tg A: \[tg A = \frac{BC}{AC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} ≈ 1.33\]

   Ответ: cos B = 0.8; tg A ≈ 1.33

2. В прямоугольном треугольнике ABC, где AB = 15 см, sin A = 0.6, найдем катет BC.

   • Используем определение синуса: \[sin A = \frac{BC}{AB}\]
   • Отсюда: \[BC = AB \cdot sin A = 15 \cdot 0.6 = 9\] см

   Ответ: BC = 9 см

3. Найдем значение выражения: \[sin^2 16° + cos^2 16° - sin^2 60°\]

   • Используем основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 α + cos^2 α = 1\]
   • Тогда: \[sin^2 16° + cos^2 16° = 1\]
   • Значение \[sin^2 60° = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} = 0.75\]
   • Окончательно: \[1 - 0.75 = 0.25\]

   Ответ: 0.25

4. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.

   • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания, высотой и боковой стороной.
   • Половина основания: \[\frac{12}{2} = 6\] см
   • Найдем боковую сторону по теореме Пифагора: \[a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\] см
   • Для угла α при основании: \[sin α = \frac{8}{10} = 0.8\]; \[cos α = \frac{6}{10} = 0.6\]; \[tg α = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} ≈ 1.33\]; \[ctg α = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75\]

   Ответ: sin α = 0.8; cos α = 0.6; tg α ≈ 1.33; ctg α = 0.75

5. Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD, BC = 6 см, ∠A = 30°, ∠CBD = 45°. Найдем отрезок AD.

   • В треугольнике CBD: ∠CBD = 45°, значит, треугольник CBD равнобедренный, CD = BC = 6 см.
   • В треугольнике ABD: tg A = \[\frac{BD}{AD}\]; BD = BC = 6 см.
   • Тогда: \[AD = \frac{BD}{tg A} = \frac{6}{tg 30°} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{6 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}\] см.

   Ответ: AD = \[6\sqrt{3}\] см