Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Контрольная работа «Неравенства. Системы неравенств». 1) Докажите неравенство: 1-вариант a)(6y-1)(y+2) ≤(3y+4)(2y+1); 6) 4(x+2)≤ (x + 2)²-2x. 2) Решите неравенства: a)6x-38≥4x+14, б)-5x+18<-18-2x. 3) Найдите наименьшее целое число х, удовлетворяющее неравенству: a)8-2(4x-5)≥3x-4, б)-19-3(7+x)<-5x+11. 4)При каких значениях переменной значение выражения 2х-4х-7 меньше значения выражения -1? 5) Решите систему неравенств: a){-15+4x > 13 б){19x-29 ≥ 17x - 26 11-3x < -4' -8(2x - 9) + 12x < 76' 6) Решите систему неравенств:{ 3x - > 7 9-x 4-1,5x > 3 2 5 7) Решите двойное неравенство 2 < 3-х < 5 и укажите наименьшее целое решение этого неравенства.
Ответ:
Краткое пояснение: Решаем каждое неравенство и систему неравенств пошагово, применяя алгебраические преобразования и учитывая свойства неравенств.
1) Докажите неравенство:
а) (6y-1)(y+2) ≤ (3y+4)(2y+1);
Раскрываем скобки и упрощаем:
6y² + 12y - y - 2 ≤ 6y² + 3y + 8y + 4
6y² + 11y - 2 ≤ 6y² + 11y + 4
-2 ≤ 4 (верно для любого y)
б) 4(x+2) ≤ (x+2)² - 2x;
Раскрываем скобки и упрощаем:
4x + 8 ≤ x² + 4x + 4 - 2x
4x + 8 ≤ x² + 2x + 4
0 ≤ x² - 2x - 4
Рассмотрим уравнение x² - 2x - 4 = 0
Дискриминант D = (-2)² - 4 * 1 * (-4) = 4 + 16 = 20
x₁ = (2 + √20) / 2 = 1 + √5
x₂ = (2 - √20) / 2 = 1 - √5
Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Значит, x² - 2x - 4 ≥ 0 при x ≤ 1 - √5 или x ≥ 1 + √5.
Раскрываем скобки и упрощаем:
6y² + 12y - y - 2 ≤ 6y² + 3y + 8y + 4
6y² + 11y - 2 ≤ 6y² + 11y + 4
-2 ≤ 4 (верно для любого y)
б) 4(x+2) ≤ (x+2)² - 2x;
Раскрываем скобки и упрощаем:
4x + 8 ≤ x² + 4x + 4 - 2x
4x + 8 ≤ x² + 2x + 4
0 ≤ x² - 2x - 4
Рассмотрим уравнение x² - 2x - 4 = 0
Дискриминант D = (-2)² - 4 * 1 * (-4) = 4 + 16 = 20
x₁ = (2 + √20) / 2 = 1 + √5
x₂ = (2 - √20) / 2 = 1 - √5
Так как коэффициент при x² положительный, парабола направлена вверх. Значит, x² - 2x - 4 ≥ 0 при x ≤ 1 - √5 или x ≥ 1 + √5.
2) Решите неравенства:
а) 6x - 38 ≥ 4x + 14;
6x - 4x ≥ 14 + 38
2x ≥ 52
x ≥ 26
б) -5x + 18 < -18 - 2x;
-5x + 2x < -18 - 18
-3x < -36
x > 12
6x - 4x ≥ 14 + 38
2x ≥ 52
x ≥ 26
б) -5x + 18 < -18 - 2x;
-5x + 2x < -18 - 18
-3x < -36
x > 12
3) Найдите наименьшее целое число х, удовлетворяющее неравенству:
а) 8 - 2(4x - 5) ≥ 3x - 4;
8 - 8x + 10 ≥ 3x - 4
18 + 4 ≥ 3x + 8x
22 ≥ 11x
x ≤ 2
Наименьшее целое число x = 2
б) -19 - 3(7+x) < -5x + 11;
-19 - 21 - 3x < -5x + 11
-40 - 3x < -5x + 11
-3x + 5x < 11 + 40
2x < 51
x < 25.5
Наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, не существует, так как неравенство строгое и решения стремятся к минус бесконечности. Однако, если требуется наибольшее целое число, то x = 25.
8 - 8x + 10 ≥ 3x - 4
18 + 4 ≥ 3x + 8x
22 ≥ 11x
x ≤ 2
Наименьшее целое число x = 2
б) -19 - 3(7+x) < -5x + 11;
-19 - 21 - 3x < -5x + 11
-40 - 3x < -5x + 11
-3x + 5x < 11 + 40
2x < 51
x < 25.5
Наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, не существует, так как неравенство строгое и решения стремятся к минус бесконечности. Однако, если требуется наибольшее целое число, то x = 25.
4) При каких значениях переменной значение выражения 2х - меньше значения выражения - 1?
2x - \(\frac{4x-7}{3}\) < \(\frac{x}{4}\) - 1
Умножаем обе части на 12:
24x - 4(4x - 7) < 3x - 12
24x - 16x + 28 < 3x - 12
8x + 28 < 3x - 12
5x < -40
x < -8
Умножаем обе части на 12:
24x - 4(4x - 7) < 3x - 12
24x - 16x + 28 < 3x - 12
8x + 28 < 3x - 12
5x < -40
x < -8
5) Решите систему неравенств:
а)
\(
\begin{cases}
-15 + 4x > 13 \\
11 - 3x < -4
\end{cases}
\)
\( \begin{cases} 4x > 28 \\ -3x < -15 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x > 7 \\ x > 5 \end{cases} \)
Решение: x > 7
б) \( \begin{cases} 19x - 29 ≥ 17x - 26 \\ -8(2x - 9) + 12x < 76 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2x ≥ 3 \\ -16x + 72 + 12x < 76 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x ≥ 1.5 \\ -4x < 4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x ≥ 1.5 \\ x > -1 \end{cases} \)
Решение: x ≥ 1.5
\( \begin{cases} 4x > 28 \\ -3x < -15 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x > 7 \\ x > 5 \end{cases} \)
Решение: x > 7
б) \( \begin{cases} 19x - 29 ≥ 17x - 26 \\ -8(2x - 9) + 12x < 76 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2x ≥ 3 \\ -16x + 72 + 12x < 76 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x ≥ 1.5 \\ -4x < 4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x ≥ 1.5 \\ x > -1 \end{cases} \)
Решение: x ≥ 1.5
6) Решите систему неравенств:
\(
\begin{cases}
3x - \frac{x}{4} > 7 \\
\frac{9-x}{2} - \frac{4-1.5x}{5} > 3
\end{cases}
\)
\( \begin{cases} \frac{11x}{4} > 7 \\ \frac{5(9-x) - 2(4-1.5x)}{10} > 3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x > \frac{28}{11} \\ 45 - 5x - 8 + 3x > 30 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x > \frac{28}{11} \\ -2x > -7 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x > \frac{28}{11} \\ x < \frac{7}{2} \end{cases} \)
\(\frac{28}{11}\) < x < \(\frac{7}{2}\)
\( \begin{cases} \frac{11x}{4} > 7 \\ \frac{5(9-x) - 2(4-1.5x)}{10} > 3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x > \frac{28}{11} \\ 45 - 5x - 8 + 3x > 30 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x > \frac{28}{11} \\ -2x > -7 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x > \frac{28}{11} \\ x < \frac{7}{2} \end{cases} \)
\(\frac{28}{11}\) < x < \(\frac{7}{2}\)
7) Решите двойное неравенство 2 < 3 - x < 5 и укажите наименьшее целое решение этого неравенства.
2 < 3 - \(\frac{2}{3}\)x < 5
-1 < -\(\frac{2}{3}\)x < 2
Умножаем на -1, меняем знаки неравенств:
-2 < \(\frac{2}{3}\)x < 1
Умножаем на \(\frac{3}{2}\):
-3 < x < \(\frac{3}{2}\)
Наименьшее целое решение: -2
-1 < -\(\frac{2}{3}\)x < 2
Умножаем на -1, меняем знаки неравенств:
-2 < \(\frac{2}{3}\)x < 1
Умножаем на \(\frac{3}{2}\):
-3 < x < \(\frac{3}{2}\)
Наименьшее целое решение: -2
Ответ: 1)а) -2 ≤ 4 (верно); 1)б) x ≤ 1 - √5 или x ≥ 1 + √5; 2)а) x ≥ 26; 2)б) x > 12; 3)а) 2; 3)б) 25; 4) x < -8; 5)а) x > 7; 5)б) x ≥ 1.5; 6) \(\frac{28}{11}\) < x < \(\frac{7}{2}\); 7) -2
