Контрольная работа «Неравенства. Системы уравнений» 1. Решите неравенство 4(x-1)-3(2x+5)>7-5x Вариант 2 2. Решите систему уравнений методом подстановки (3x+4y=0 (2x-y-11 3. Решите систему уравнений методом сложения (5x-4y=3 (10x+3y5 4. Решите систему неравенств. Укажите три наименьших целых числа, являющихся её решением (3x-4(x+1)<8 2x+31 4 22 5. Прямая у = kx + в проходит через точки С(-1; 2) и D(3; -6). Составьте уравнение этой прямой 6. Два насоса, работая одновременно, наполняют бассейн за 3 часа. Если первый насос проработает один 2 часа, а затем его сменит второй, который наполнит оставшуюся часть бассейна за 4,5 часа, то за сколько часов каждый насос может наполнить бассейн в одиночку?

1. Решение неравенства

• Шаг 1: Раскрываем скобки и упрощаем выражение.

\[ 4(x-1) - 3(2x+5) > 7 - 5x \] \[ 4x - 4 - 6x - 15 > 7 - 5x \] \[ -2x - 19 > 7 - 5x \]

• Шаг 2: Переносим переменные в одну сторону, числа в другую.

\[ -2x + 5x > 7 + 19 \] \[ 3x > 26 \]

• Шаг 3: Делим обе стороны на 3.

\[ x > \frac{26}{3} \] \[ x > 8\frac{2}{3} \]

Ответ: \[x > 8\frac{2}{3}\]

2. Решение системы уравнений методом подстановки

• Шаг 1: Выражаем y из второго уравнения.

\[ 2x - y = 11 \] \[ y = 2x - 11 \]

• Шаг 2: Подставляем полученное выражение в первое уравнение.

\[ 3x + 4(2x - 11) = 0 \] \[ 3x + 8x - 44 = 0 \] \[ 11x = 44 \] \[ x = 4 \]

• Шаг 3: Находим y.

\[ y = 2(4) - 11 \] \[ y = 8 - 11 \] \[ y = -3 \]

Ответ: x = 4, y = -3

3. Решение системы уравнений методом сложения

• Шаг 1: Умножаем первое уравнение на 3, второе на 4.

\[ \begin{cases} 5x - 4y = 3 \\ 10x + 3y = 5 \end{cases} \] Умножаем первое уравнение на 3, второе на 4: \[ \begin{cases} 15x - 12y = 9 \\ 40x + 12y = 20 \end{cases} \]

• Шаг 2: Складываем уравнения.

\[ 15x - 12y + 40x + 12y = 9 + 20 \] \[ 55x = 29 \] \[ x = \frac{29}{55} \]

• Шаг 3: Находим y.

\[ 5(\frac{29}{55}) - 4y = 3 \] \[ \frac{29}{11} - 4y = 3 \] \[ 4y = \frac{29}{11} - 3 \] \[ 4y = \frac{29 - 33}{11} \] \[ 4y = \frac{-4}{11} \] \[ y = \frac{-1}{11} \]

Ответ: \[x = \frac{29}{55}, y = \frac{-1}{11}\]

4. Решение системы неравенств

• Шаг 1: Решаем первое неравенство.

\[ 3x - 4(x+1) < 8 \] \[ 3x - 4x - 4 < 8 \] \[ -x < 12 \] \[ x > -12 \]

• Шаг 2: Решаем второе неравенство.

\[ \frac{2x+3}{4} \ge \frac{1}{2} \] \[ 2x + 3 \ge 2 \] \[ 2x \ge -1 \] \[ x \ge -\frac{1}{2} \]

• Шаг 3: Объединяем решения.

\[ x > -12 \quad \text{и} \quad x \ge -\frac{1}{2} \] Следовательно, \[x \ge -\frac{1}{2}\]

• Шаг 4: Наименьшие целые числа.

Три наименьших целых числа: 0, 1, 2.

Ответ: 0, 1, 2

5. Уравнение прямой

• Шаг 1: Находим угловой коэффициент k.

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] \[ k = \frac{-6 - 2}{3 - (-1)} \] \[ k = \frac{-8}{4} \] \[ k = -2 \]

• Шаг 2: Находим b.

Используем точку C(-1, 2): \[ 2 = -2(-1) + b \] \[ 2 = 2 + b \] \[ b = 0 \]

• Шаг 3: Записываем уравнение прямой.

\[ y = -2x \]

Ответ: y = -2x

6. Задача про бассейны

• Шаг 1: Обозначим время, за которое первый насос наполняет бассейн как x, а второй как y.

Тогда, их производительности равны \[\frac{1}{x}\] и \[\frac{1}{y}\] соответственно.

• Шаг 2: Составляем уравнения.

Первое уравнение (оба насоса вместе наполняют бассейн за 3 часа): \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \] Второе уравнение (первый насос работал 2 часа, второй 4.5 часа): \[ \frac{2}{x} + \frac{4.5}{y} = 1 \]

• Шаг 3: Решаем систему уравнений.

\[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \\ \frac{2}{x} + \frac{4.5}{y} = 1 \end{cases} \] Умножаем первое уравнение на 2: \[ \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{2}{3} \] Вычитаем это уравнение из второго: \[ \frac{4.5}{y} - \frac{2}{y} = 1 - \frac{2}{3} \] \[ \frac{2.5}{y} = \frac{1}{3} \] \[ y = 2.5 \cdot 3 = 7.5 \] Теперь находим x: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{7.5} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{7.5} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{7.5 - 3}{3 \cdot 7.5} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{4.5}{22.5} \] \[ x = \frac{22.5}{4.5} = 5 \]

Ответ: Первый насос наполнит бассейн за 5 часов, второй за 7.5 часов.