Контрольная работа «Неравенства. Системы уравнений» 1. Решите неравенство 3(2x-1)-4(x+2)≤5-2x Вариант 1 2. Решите систему уравнений методом подстановки Sx-2y-11 4x+y-4 3. Решите систему уравнений методом сложения 17x+3y-1 2x-6y-10 4. Решите систему неравенств. Укажите три наибольших целых числа, являющихся её решением (2(x-3)-5x24 1-1 2 5. Прямая у= kx+ в проходит через точки А(1; 5) и В(-2;-1). Составьте уравнение этой прямой 6. Два рабочих, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 часов. Если первый рабочий проработает самостоятельно 4 часа, а затем его сменит второй, который закончит работу за 8 часов, то за сколько часов каждый рабочий мог бы выполнить заказ самостоятельно? Контрольная работа «Неравенства. Системы уравнений» 1. Решите неравенство 4(x-1)-3(2x+5)>7-5x Вариант 2 2. Решите систему уравнений методом подстановки (3x+4y=0 2x-y-11 3. Решите систему уравнений методом сложения (5x-4y-3 10x+3y-5 4. Решите систему неравенств. Укажите три наименьших целых числа, являющихся её решением (3x-4(x+1)<8 2x+3 1 4 5. Прямая у = kx + в проходит через точки С(-1; 2) и D(3; -6). Составьте уравнение этой прямой 6. Два насоса, работая одновременно, наполняют бассейн за 3 часа. Если первый насос проработает один 2 часа, а затем его сменит второй, который наполнит оставшуюся часть бассейна за 4,5 часа, то за сколько часов каждый насос может наполнить бассейн в одиночку?

1. Решите неравенство: 3(2x-1) - 4(x+2) ≤ 5 - 2x
Логика такая:

• Раскрываем скобки: 6x - 3 - 4x - 8 ≤ 5 - 2x
• Приводим подобные слагаемые: 2x - 11 ≤ 5 - 2x
• Переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую: 2x + 2x ≤ 5 + 11
• Упрощаем: 4x ≤ 16
• Делим обе части на 4: x ≤ 4

Ответ: x ≤ 4

2. Решите систему уравнений методом подстановки: \[\begin{cases} 5x - 2y = 11 \\ 4x + y = 4 \end{cases}\]
Логика такая:

• Из второго уравнения выражаем y: y = 4 - 4x
• Подставляем это выражение в первое уравнение: 5x - 2(4 - 4x) = 11
• Раскрываем скобки и решаем уравнение: 5x - 8 + 8x = 11 ⇒ 13x = 19 ⇒ x = \frac{19}{13}
• Подставляем значение x обратно в выражение для y: y = 4 - 4(\frac{19}{13}) = \frac{52 - 76}{13} = -\frac{24}{13}

Ответ: x = \frac{19}{13}, y = -\frac{24}{13}

3. Решите систему уравнений методом сложения: \[\begin{cases} 7x + 3y = 1 \\ 2x - 6y = 10 \end{cases}\]
Логика такая:

• Умножаем первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при x стали кратными: 14x + 6y = 2
• Складываем это уравнение со вторым уравнением: (14x + 6y) + (2x - 6y) = 2 + 10
• Упрощаем: 16x = 12 ⇒ x = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}
• Подставляем значение x в первое уравнение: 7(\frac{3}{4}) + 3y = 1 ⇒ \frac{21}{4} + 3y = 1 ⇒ 3y = 1 - \frac{21}{4} = -\frac{17}{4} ⇒ y = -\frac{17}{12}

Ответ: x = \frac{3}{4}, y = -\frac{17}{12}

4. Решите систему неравенств. Укажите три наибольших целых числа, являющихся её решением: \[\begin{cases} 2(x - 3) - 5x \geq 4 \\ \frac{x - 1}{2} < 3 \end{cases}\]
Логика такая:

• Решаем первое неравенство: 2x - 6 - 5x \geq 4 ⇒ -3x \geq 10 ⇒ x \leq -\frac{10}{3} \approx -3.33
• Решаем второе неравенство: \frac{x - 1}{2} < 3 ⇒ x - 1 < 6 ⇒ x < 7
• Объединяем решения: x \leq -\frac{10}{3} и x < 7. Значит, x \leq -\frac{10}{3}
• Три наибольших целых числа: -4, -5, -6

Ответ: -4, -5, -6

5. Прямая y = kx + b проходит через точки A(1; 5) и B(-2; -1). Составьте уравнение этой прямой.
Логика такая:

• Подставляем координаты точек в уравнение прямой: \[\begin{cases} 5 = k + b \\ -1 = -2k + b \end{cases}\]
• Вычитаем из первого уравнения второе: 6 = 3k ⇒ k = 2
• Подставляем k в первое уравнение: 5 = 2 + b ⇒ b = 3
• Уравнение прямой: y = 2x + 3

Ответ: y = 2x + 3

6. Два рабочих, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 часов. Если первый рабочий проработает самостоятельно 4 часа, а затем его сменит второй, который закончит работу за 8 часов, то за сколько часов каждый рабочий мог бы выполнить заказ самостоятельно?
Логика такая:

• Пусть x - время, за которое первый рабочий выполнит заказ, y - время второго рабочего.
• Тогда \(\frac{1}{x}\) - часть заказа, которую первый рабочий выполняет за час, \(\frac{1}{y}\) - часть заказа, которую второй рабочий выполняет за час.
• Вместе они выполняют заказ за 6 часов: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\)
• Первый работает 4 часа, второй - 8 часов: \(\frac{4}{x} + \frac{8}{y} = 1\)
• Решаем систему уравнений:
• \[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{4}{x} + \frac{8}{y} = 1 \end{cases}\]
• Умножим первое уравнение на 4: \(\frac{4}{x} + \frac{4}{y} = \frac{4}{6}\)
• Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 4: \(\frac{4}{y} = 1 - \frac{4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
• Тогда y = 12. Подставим в первое уравнение: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6} ⇒ \frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12} ⇒ x = 12\)

Ответ: Каждый рабочий может выполнить заказ за 12 часов.

1. Решите неравенство: 4(x - 1) - 3(2x + 5) > 7 - 5x
Логика такая:

• Раскрываем скобки: 4x - 4 - 6x - 15 > 7 - 5x
• Приводим подобные слагаемые: -2x - 19 > 7 - 5x
• Переносим неизвестные в одну сторону, известные в другую: -2x + 5x > 7 + 19
• Упрощаем: 3x > 26
• Делим обе части на 3: x > \frac{26}{3}

Ответ: x > \frac{26}{3}

2. Решите систему уравнений методом подстановки: \[\begin{cases} 3x + 4y = 0 \\ 2x - y = 11 \end{cases}\]
Логика такая:

• Из второго уравнения выражаем y: y = 2x - 11
• Подставляем это выражение в первое уравнение: 3x + 4(2x - 11) = 0
• Раскрываем скобки и решаем уравнение: 3x + 8x - 44 = 0 ⇒ 11x = 44 ⇒ x = 4
• Подставляем значение x обратно в выражение для y: y = 2(4) - 11 = 8 - 11 = -3

Ответ: x = 4, y = -3

3. Решите систему уравнений методом сложения: \[\begin{cases} 5x - 4y = 3 \\ 10x + 3y = 5 \end{cases}\]
Логика такая:

• Умножаем первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при x стали противоположными: -10x + 8y = -6
• Складываем это уравнение со вторым уравнением: (-10x + 8y) + (10x + 3y) = -6 + 5
• Упрощаем: 11y = -1 ⇒ y = -\frac{1}{11}
• Подставляем значение y в первое уравнение: 5x - 4(-\frac{1}{11}) = 3 ⇒ 5x + \frac{4}{11} = 3 ⇒ 5x = 3 - \frac{4}{11} = \frac{29}{11} ⇒ x = \frac{29}{55}

Ответ: x = \frac{29}{55}, y = -\frac{1}{11}

4. Решите систему неравенств. Укажите три наименьших целых числа, являющихся её решением: \[\begin{cases} \frac{3x - 4(x + 1)}{2} < 8 \\ \frac{2x + 3}{4} > \frac{1}{2} \end{cases}\]
Логика такая:

• Решаем первое неравенство: \(\frac{3x - 4x - 4}{2} < 8 ⇒ -x - 4 < 16 ⇒ -x < 20 ⇒ x > -20\)
• Решаем второе неравенство: \(\frac{2x + 3}{4} > \frac{1}{2} ⇒ 2x + 3 > 2 ⇒ 2x > -1 ⇒ x > -\frac{1}{2}\)
• Объединяем решения: x > -20 и x > -\frac{1}{2}. Значит, x > -\frac{1}{2}
• Три наименьших целых числа: 0, 1, 2

Ответ: 0, 1, 2

5. Прямая y = kx + b проходит через точки C(-1; 2) и D(3; -6). Составьте уравнение этой прямой.
Логика такая:

• Подставляем координаты точек в уравнение прямой: \[\begin{cases} 2 = -k + b \\ -6 = 3k + b \end{cases}\]
• Вычитаем из первого уравнения второе: 8 = -4k ⇒ k = -2
• Подставляем k в первое уравнение: 2 = 2 + b ⇒ b = 0
• Уравнение прямой: y = -2x

Ответ: y = -2x

6. Два насоса, работая одновременно, наполняют бассейн за 3 часа. Если первый насос проработает один 2 часа, а затем его сменит второй, который наполнит оставшуюся часть бассейна за 4,5 часа, то за сколько часов каждый насос может наполнить бассейн в одиночку?
Логика такая:

• Пусть x - время, за которое первый насос наполнит бассейн, y - время второго насоса.
• Тогда \(\frac{1}{x}\) - часть бассейна, которую первый насос наполняет за час, \(\frac{1}{y}\) - часть бассейна, которую второй насос наполняет за час.
• Вместе они наполняют бассейн за 3 часа: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}\)
• Первый работает 2 часа, второй - 4.5 часа: \(\frac{2}{x} + \frac{4.5}{y} = 1\)
• Решаем систему уравнений:
• \[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \\ \frac{2}{x} + \frac{4.5}{y} = 1 \end{cases}\]
• Умножим первое уравнение на 2: \(\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{2}{3}\)
• Вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 2: \(\frac{2.5}{y} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} ⇒ y = 7.5\)
• Подставим в первое уравнение: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{7.5} = \frac{1}{3} ⇒ \frac{1}{x} = \frac{1}{3} - \frac{1}{7.5} = \frac{5}{15} - \frac{2}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} ⇒ x = 5\)

Ответ: Первый насос может наполнить бассейн за 5 часов, второй - за 7.5 часов.