Контрольная работа. Неравенства. Системы уравнений Вариант 1 1. Решить неравенства: a) 4x-5≥ 2x - 4 b) x-2 ≤ 4x + 4 c) 3-x ≥ 3x + 5 2. Решите систему неравенств: a) {-9+ 3x < 0 (-12 + 3x < 0 b) {9-4x > -3 3. Решить СУ (4x - y = - 19 (3y - 4x = 33 4. В кассе театра купили 15 билетов на детский спектакль. Среди них были билеты двух типов: в партер (по 300 руб.) и на балкон (по 200 руб.). За все билеты заплатили 3500 рублей. Сколько купили билетов в партер и сколько на балкон? Вариант 2 1. Решить неравенства: a) 2x + 4≥ 4x + 1 b) x + 2 ≤ 5x-8 c) 5-2x-3x - 3 2. Решите систему неравенств: a) {2-3x > -10 - 5 + 5x < 0 b) {-10 + 3x < 0 16- 3x > -3 3. Решить СУ (5x + y = 7 Ly - 8x = -6 4. В классе 25 учеников. Девочек на 3 больше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

Вариант 1

1. Решить неравенства:

a) \( 4x - 5 \ge 2x - 4 \)

• Шаг 1: Перенесем члены с \( x \) в левую часть, а числа – в правую:

\( 4x - 2x \ge -4 + 5 \)

• Шаг 2: Упростим выражение:

\( 2x \ge 1 \)

• Шаг 3: Разделим обе части на 2:

\( x \ge \frac{1}{2} \)

Ответ: \( x \ge 0.5 \)

b) \( x - 2 \le 4x + 4 \)

• Шаг 1: Перенесем члены с \( x \) в левую часть, а числа – в правую:

\( x - 4x \le 4 + 2 \)

• Шаг 2: Упростим выражение:

\( -3x \le 6 \)

• Шаг 3: Разделим обе части на -3 (знак неравенства меняется на противоположный):

\( x \ge -2 \)

Ответ: \( x \ge -2 \)

c) \( 3 - x \ge 3x + 5 \)

• Шаг 1: Перенесем члены с \( x \) в правую часть, а числа – в левую:

\( 3 - 5 \ge 3x + x \)

• Шаг 2: Упростим выражение:

\( -2 \ge 4x \)

• Шаг 3: Разделим обе части на 4:

\( x \le -\frac{1}{2} \)

Ответ: \( x \le -0.5 \)

2. Решить систему неравенств:

a) \( \begin{cases} -9 + 3x < 0 \\ -12 + 3x < 0 \end{cases} \)

• Шаг 1: Решим каждое неравенство по отдельности:

\( -9 + 3x < 0 \) => \( 3x < 9 \) => \( x < 3 \)

\( -12 + 3x < 0 \) => \( 3x < 12 \) => \( x < 4 \)

• Шаг 2: Найдем пересечение решений:

Оба неравенства выполняются при \( x < 3 \)

Ответ: \( x < 3 \)

b) \( \begin{cases} 9 - 4x > -3 \end{cases} \)

• Шаг 1: Упростим неравенство:

\( 9 - 4x > -3 \) => \( -4x > -3 - 9 \) => \( -4x > -12 \)

• Шаг 2: Разделим обе части на -4 (знак неравенства меняется):

\( x < 3 \)

Ответ: \( x < 3 \)

3. Решить систему уравнений:

\( \begin{cases} 4x - y = -19 \\ 3y - 4x = 33 \end{cases} \)

• Шаг 1: Сложим уравнения:

\( 4x - y + 3y - 4x = -19 + 33 \)

\( 2y = 14 \)

• Шаг 2: Найдем \( y \):

\( y = 7 \)

• Шаг 3: Подставим значение \( y \) в первое уравнение:

\( 4x - 7 = -19 \)

\( 4x = -12 \)

\( x = -3 \)

Ответ: \( x = -3, y = 7 \)

4. Задача про билеты:

• Шаг 1: Обозначим количество билетов в партер как \( p \), а на балкон как \( b \).
• Шаг 2: Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} p + b = 15 \\ 300p + 200b = 3500 \end{cases} \)

• Шаг 3: Решим систему уравнений:

Из первого уравнения выразим \( p = 15 - b \) и подставим во второе уравнение:

\( 300(15 - b) + 200b = 3500 \)

\( 4500 - 300b + 200b = 3500 \)

\( -100b = -1000 \)

\( b = 10 \)

Тогда \( p = 15 - 10 = 5 \)

Ответ: 5 билетов в партер и 10 на балкон.

Вариант 2

1. Решить неравенства:

a) \( 2x + 4 \ge 4x + 1 \)

• Шаг 1: Перенесем члены с \( x \) в правую часть, а числа – в левую:

\( 4 - 1 \ge 4x - 2x \)

• Шаг 2: Упростим выражение:

\( 3 \ge 2x \)

• Шаг 3: Разделим обе части на 2:

\( x \le \frac{3}{2} \)

Ответ: \( x \le 1.5 \)

b) \( x + 2 \le 5x - 8 \)

• Шаг 1: Перенесем члены с \( x \) в правую часть, а числа – в левую:

\( 2 + 8 \le 5x - x \)

• Шаг 2: Упростим выражение:

\( 10 \le 4x \)

• Шаг 3: Разделим обе части на 4:

\( x \ge \frac{10}{4} \)

Ответ: \( x \ge 2.5 \)

c) \( 5 - 2x \ge -3x - 3 \)

• Шаг 1: Перенесем члены с \( x \) в левую часть, а числа – в правую:

\( -2x + 3x \ge -3 - 5 \)

• Шаг 2: Упростим выражение:

\( x \ge -8 \)

Ответ: \( x \ge -8 \)

2. Решить систему неравенств:

a) \( \begin{cases} 2 - 3x > -10 \\ -5 + 5x < 0 \end{cases} \)

• Шаг 1: Решим каждое неравенство по отдельности:

\( 2 - 3x > -10 \) => \( -3x > -12 \) => \( x < 4 \)

\( -5 + 5x < 0 \) => \( 5x < 5 \) => \( x < 1 \)

• Шаг 2: Найдем пересечение решений:

Оба неравенства выполняются при \( x < 1 \)

Ответ: \( x < 1 \)

b) \( \begin{cases} -10 + 3x < 0 \\ 6 - 3x > -3 \end{cases} \)

• Шаг 1: Решим каждое неравенство по отдельности:

\( -10 + 3x < 0 \) => \( 3x < 10 \) => \( x < \frac{10}{3} \)

\( 6 - 3x > -3 \) => \( -3x > -9 \) => \( x < 3 \)

• Шаг 2: Найдем пересечение решений:

Оба неравенства выполняются при \( x < 3 \)

Ответ: \( x < 3 \)

3. Решить систему уравнений:

\( \begin{cases} 5x + y = 7 \\ y - 8x = -6 \end{cases} \)

• Шаг 1: Выразим \( y \) из второго уравнения:

\( y = 8x - 6 \)

• Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) в первое уравнение:

\( 5x + 8x - 6 = 7 \)

\( 13x = 13 \)

• Шаг 3: Найдем \( x \):

\( x = 1 \)

• Шаг 4: Подставим \( x = 1 \) в выражение для \( y \):

\( y = 8(1) - 6 = 2 \)

Ответ: \( x = 1, y = 2 \)

4. Задача про учеников:

• Шаг 1: Обозначим количество мальчиков как \( m \), а девочек как \( d \).
• Шаг 2: Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} m + d = 25 \\ d = m + 3 \end{cases} \)

• Шаг 3: Решим систему уравнений:

Подставим \( d = m + 3 \) в первое уравнение:

\( m + m + 3 = 25 \)

\( 2m = 22 \)

\( m = 11 \)

Тогда \( d = 11 + 3 = 14 \)

Ответ: 11 мальчиков и 14 девочек.