Контрольная работа по алгебре 11 класс по теме: «Производная и её применение» Часть I Вариант 1 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на промежутке: а) y= -2tg х на отрезке [0; π/6] б) f(x) = -3x² + 6x - 10 [-2; 9] 2. Найти промежутки монотонности функции: f(x) = x³ - 7x² + 16x 3. Найдите точки экстремума функции f(x)=x³ +3x² - 9x +5 4. Исследовать функцию и построить её график: f(x) = x⁴ - 4x² Часть II

Решение:

Часть I

Вариант 1

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
1. \( y = -2\operatorname{tg} x \) на отрезке \( [0; \frac{\pi}{6}] \).

Производная функции: \( y' = -2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{2}{\cos^2 x} \).

На отрезке \( [0; \frac{\pi}{6}] \), \(\cos x > 0\), следовательно \(\cos^2 x > 0\) и \( y' < 0 \). Функция убывает.

Наибольшее значение достигается при \( x = 0 \): \( y(0) = -2\operatorname{tg} 0 = 0 \).

Наименьшее значение достигается при \( x = \frac{\pi}{6} \): \( y(\frac{\pi}{6}) = -2\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: Наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно -\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

2. \( f(x) = -3x^2 + 6x - 10 \) на отрезке \( [-2; 9] \).

Найдем производную: \( f'(x) = -6x + 6 \).

Приравняем производную к нулю: \( -6x + 6 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 1 \).

Найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• \( f(1) = -3(1)^2 + 6(1) - 10 = -3 + 6 - 10 = -7 \).
• \( f(-2) = -3(-2)^2 + 6(-2) - 10 = -3(4) - 12 - 10 = -12 - 12 - 10 = -34 \).
• \( f(9) = -3(9)^2 + 6(9) - 10 = -3(81) + 54 - 10 = -243 + 54 - 10 = -199 \).

Ответ: Наибольшее значение равно -7, наименьшее значение равно -199.

2. Найти промежутки монотонности функции: \( f(x) = x^3 - 7x^2 + 16x \).

Найдем производную функции: \( f'(x) = 3x^2 - 14x + 16 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 14x + 16 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4 \).

Найдем корни: \( x_1 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2 \).

\( x_2 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \).

Рассмотрим знаки производной на интервалах:

• При \( x < 2 \), например \( x = 0 \): \( f'(0) = 3(0)^2 - 14(0) + 16 = 16 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( 2 < x < \frac{8}{3} \), например \( x = 2.5 \): \( f'(2.5) = 3(2.5)^2 - 14(2.5) + 16 = 3(6.25) - 35 + 16 = 18.75 - 35 + 16 = -0.25 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > \frac{8}{3} \), например \( x = 3 \): \( f'(3) = 3(3)^2 - 14(3) + 16 = 3(9) - 42 + 16 = 27 - 42 + 16 = 1 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; 2] \) и \( [\frac{8}{3}; +\infty) \). Функция убывает на \( [2; \frac{8}{3}] \).

3. Найдите точки экстремума функции \( f(x)=x^3 +3x^2 - 9x +5 \).

Найдем производную функции: \( f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 \).

Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \).

Разделим на 3: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).

Найдем корни: \( x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \).

\( x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \).

Определим тип экстремума с помощью второй производной: \( f''(x) = 6x + 6 \).

• При \( x = -3 \): \( f''(-3) = 6(-3) + 6 = -18 + 6 = -12 < 0 \). Следовательно, \( x = -3 \) — точка максимума.
• При \( x = 1 \): \( f''(1) = 6(1) + 6 = 12 > 0 \). Следовательно, \( x = 1 \) — точка минимума.

Ответ: Точка максимума x = -3, точка минимума x = 1.

4. Исследовать функцию и построить её график: \( f(x) = x^4 - 4x^2 \).

1. Область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \) (многочлен).

2. Четность/нечетность: \( f(-x) = (-x)^4 - 4(-x)^2 = x^4 - 4x^2 = f(x) \). Функция четная, симметрична относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями:

• С осью Oy (x=0): \( f(0) = 0^4 - 4(0)^2 = 0 \). Точка (0; 0).
• С осью Ox (y=0): \( x^4 - 4x^2 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x^2(x^2 - 4) = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x^2(x - 2)(x + 2) = 0 \). Точки (0; 0), (2; 0), (-2; 0).

4. Производная и точки экстремума:

\( f'(x) = 4x^3 - 8x \).

Приравняем производную к нулю: \( 4x^3 - 8x = 0 \) \(\Rightarrow\) \( 4x(x^2 - 2) = 0 \).

Критические точки: \( x = 0 \), \( x = \sqrt{2} \), \( x = -\sqrt{2} \).

Определим знаки производной:

• На \( (-\infty; -\sqrt{2}) \): \( f'(-2) = 4(-2)((-2)^2 - 2) = -8(4-2) = -16 < 0 \). Убывает.
• На \( (-\sqrt{2}; 0) \): \( f'(-1) = 4(-1)((-1)^2 - 2) = -4(1-2) = 4 > 0 \). Возрастает.
• На \( (0; \sqrt{2}) \): \( f'(1) = 4(1)(1^2 - 2) = 4(1-2) = -4 < 0 \). Убывает.
• На \( (\sqrt{2}; +\infty) \): \( f'(2) = 4(2)(2^2 - 2) = 8(4-2) = 16 > 0 \). Возрастает.

Точки экстремума:

• \( x = -\sqrt{2} \) — точка минимума. \( f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 = 4 - 4(2) = 4 - 8 = -4 \). Точка \( (-\sqrt{2}; -4) \).
• \( x = 0 \) — точка максимума. \( f(0) = 0 \). Точка (0; 0).
• \( x = \sqrt{2} \) — точка минимума. \( f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 = 4 - 4(2) = 4 - 8 = -4 \). Точка \( (\sqrt{2}; -4) \).

5. Вторая производная и точки перегиба:

\( f''(x) = 12x^2 - 8 \).

Приравняем вторую производную к нулю: \( 12x^2 - 8 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x^2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).

Точки перегиба: \( x = -\sqrt{\frac{2}{3}} \) и \( x = \sqrt{\frac{2}{3}} \).

\( f(\pm\sqrt{\frac{2}{3}}) = (\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) = \frac{4}{9} - \frac{8}{3} = \frac{4 - 24}{9} = -\frac{20}{9} \).

Точки перегиба: \( (-\sqrt{\frac{2}{3}}; -\frac{20}{9}) \) и \( (\sqrt{\frac{2}{3}}; -\frac{20}{9}) \).

6. Построение графика:

Ответ: График построен. Основные точки: (0;0) - максимум, (±√2; -4) - минимумы, (±2; 0) - пересечение с осью Ox, (±√(2/3); -20/9) - точки перегиба.