Контрольная работа по алгебре 7 класс Тема: Система двух уравнений с двумя неизвестными Вариант 1 1. Банк продал предпринимателю г-ну Разину 8 облигаций по 2000 р. и 3000 р. Сколько облигаций каждого номинала купил г-н Разин, если за все облигации было заплачено 19 000 р.? 2. Решите систему уравнений: (2(3x + 2y) + 9 = 4x + 21, (2x + 10 = 3 - (6x + 5y). 3. Прямая у = kx + b проходит через точки А(3; 8) и В(-4; 1). Напишите уравнение этой прямой.

Обоснование выбора:

Задание относится к точным наукам (алгебра, 7 класс). Поэтому я применяю Протокол 3.1, который предполагает пошаговое решение математических задач с подробными объяснениями.

Решение:

Задача 1:

Дано:

• Количество облигаций: 8 шт.
• Номиналы облигаций: 2000 р. и 3000 р.
• Общая сумма: 19 000 р.

Решение:

1. Введем переменные:
   Пусть x — количество облигаций номиналом 2000 р., а y — количество облигаций номиналом 3000 р.
2. Составим систему уравнений:
   Из условия задачи мы знаем, что всего было куплено 8 облигаций, значит:
   
   

   \[ x + y = 8 \]

   
   Также мы знаем общую сумму, которую заплатили за облигации:
   
   

   \[ 2000x + 3000y = 19000 \]

   
   Теперь у нас есть система:

   \[ \begin{cases} x + y = 8 \\ 2000x + 3000y = 19000 \end{cases} \]

3. Решим систему уравнений:
   Для удобства можно разделить второе уравнение на 1000:
   
   

   \[ \begin{cases} x + y = 8 \\ 2x + 3y = 19 \end{cases} \]

   Теперь выразим x из первого уравнения: x = 8 - y.
   Подставим это выражение во второе уравнение:

   \[ 2(8 - y) + 3y = 19 \]

   Раскроем скобки:

   \[ 16 - 2y + 3y = 19 \]

   Приведем подобные члены:

   \[ 16 + y = 19 \]

   Найдем y:

   \[ y = 19 - 16 \]
   \[ y = 3 \]

   Теперь найдем x, подставив значение y в уравнение x = 8 - y:

   \[ x = 8 - 3 \]
   \[ x = 5 \]

4. Проверка:
   5 облигаций по 2000 р. = 10 000 р.
   3 облигации по 3000 р. = 9 000 р.
   Общая сумма = 10 000 + 9 000 = 19 000 р. (Совпадает с условием задачи)

Ответ: 5 облигаций номиналом 2000 р. и 3 облигации номиналом 3000 р.

Задача 2:

Дано:

• Система уравнений:

  \[ \begin{cases} 2(3x + 2y) + 9 = 4x + 21 \\ 2x + 10 = 3 - (6x + 5y) \end{cases} \]

Решение:

1. Упростим первое уравнение:
   

   \[ 6x + 4y + 9 = 4x + 21 \]

   Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:

   \[ 6x - 4x + 4y = 21 - 9 \]
   \[ 2x + 4y = 12 \]

   Разделим обе части на 2:

   \[ x + 2y = 6 \]

2. Упростим второе уравнение:
   

   \[ 2x + 10 = 3 - 6x - 5y \]

   Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:

   \[ 2x + 6x + 5y = 3 - 10 \]
   \[ 8x + 5y = -7 \]

3. Составим новую систему из упрощенных уравнений:

   \[ \begin{cases} x + 2y = 6 \\ 8x + 5y = -7 \end{cases} \]

4. Решим систему методом подстановки:
   Из первого уравнения выразим x: x = 6 - 2y.
   Подставим это выражение во второе уравнение:

   \[ 8(6 - 2y) + 5y = -7 \]

   Раскроем скобки:

   \[ 48 - 16y + 5y = -7 \]

   Приведем подобные члены:

   \[ 48 - 11y = -7 \]

   Найдем y:

   \[ -11y = -7 - 48 \]
   \[ -11y = -55 \]
   \[ y = 5 \]

5. Найдем x, подставив значение y в уравнение x = 6 - 2y:

   \[ x = 6 - 2(5) \]
   \[ x = 6 - 10 \]
   \[ x = -4 \]

6. Проверка: Подставим x = -4 и y = 5 в исходные уравнения. Первое уравнение:

   \[ 2(3(-4) + 2(5)) + 9 = 4(-4) + 21 \]
   \[ 2(-12 + 10) + 9 = -16 + 21 \]
   \[ 2(-2) + 9 = 5 \]
   \[ -4 + 9 = 5 \]
   \[ 5 = 5 \]

   Второе уравнение:

   \[ 2(-4) + 10 = 3 - (6(-4) + 5(5)) \]
   \[ -8 + 10 = 3 - (-24 + 25) \]
   \[ 2 = 3 - (1) \]
   \[ 2 = 2 \]

Ответ: (-4; 5)

Задача 3:

Дано:

• Прямая y = kx + b
• Точки А(3; 8) и В(-4; 1)

Решение:

1. Найдем коэффициент k (угловой коэффициент):
   Формула для нахождения k:

   \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

   Подставим координаты точек А(3; 8) и В(-4; 1):

   \[ k = \frac{1 - 8}{-4 - 3} = \frac{-7}{-7} = 1 \]

2. Найдем свободный член b:
   Теперь, когда мы знаем k = 1, уравнение прямой выглядит так: y = 1x + b, или y = x + b.
   Подставим координаты одной из точек (например, точки А(3; 8)) в это уравнение:

   \[ 8 = 3 + b \]

   Найдем b:

   \[ b = 8 - 3 \]
   \[ b = 5 \]

3. Запишем уравнение прямой:
   Подставим найденные значения k и b в уравнение y = kx + b:

   \[ y = 1x + 5 \]

   Или просто:

   \[ y = x + 5 \]

Ответ: y = x + 5