Контрольная работа по алгебре 7 класс Тема: Система двух уравнений с двумя неизвестными Вариант 2 1. Велосипедист ехал 2 ч по лесной дороге и 1 ч по шоссе, всего он проехал 40 км. Скорость его на шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе и с какой по лесной дороге? 2. Решите систему уравнений: (2(3x - y) - 5 = 2x – 3y, (5- (x - 2y) = 4y + 16. 3. Прямая у = kx + b проходит через точки А(5; 0) и В(-2; 21). Напишите уравнение этой прямой.

Анализ задачи

Это контрольная работа по алгебре для 7 класса, состоящая из трех задач:

• Задача 1: Текстовая задача на движение, решаемая с помощью системы уравнений.
• Задача 2: Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
• Задача 3: Нахождение уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Решение задачи 2:

Для решения системы уравнений необходимо привести оба уравнения к стандартному виду Ax + By = C, а затем применить один из методов решения (подстановка или сложение).

1. Преобразуем первое уравнение:

   \[ 2(3x - y) - 5 = 2x - 3y \]

   \[ 6x - 2y - 5 = 2x - 3y \]

   \[ 6x - 2x - 2y + 3y = 5 \]

   \[ 4x + y = 5 \]

2. Преобразуем второе уравнение:

   \[ 5 - (x - 2y) = 4y + 16 \]

   \[ 5 - x + 2y = 4y + 16 \]

   \[ -x + 2y - 4y = 16 - 5 \]

   \[ -x - 2y = 11 \]

3. Получаем новую систему:

   \[ \begin{cases} 4x + y = 5 \\ -x - 2y = 11 \end{cases} \]

4. Решаем систему методом подстановки. Выразим y из первого уравнения:

   \[ y = 5 - 4x \]

5. Подставим выражение для y во второе уравнение:

   \[ -x - 2(5 - 4x) = 11 \]

   \[ -x - 10 + 8x = 11 \]

   \[ 7x = 11 + 10 \]

   \[ 7x = 21 \]

   \[ x = 3 \]

6. Найдем y, подставив значение x в выражение для y:

   \[ y = 5 - 4(3) \]

   \[ y = 5 - 12 \]

   \[ y = -7 \]

Ответ: (3; -7)

Решение задачи 3:

Уравнение прямой имеет вид $$y = kx + b$$. Так как прямая проходит через точки A(5; 0) и В(-2; 21), подставим координаты этих точек в уравнение, чтобы получить систему уравнений относительно k и b.

1. Подставляем координаты точки А (5; 0):

   \[ 0 = k imes 5 + b \]

   \[ 5k + b = 0 \]

2. Подставляем координаты точки В (-2; 21):

   \[ 21 = k imes (-2) + b \]

   \[ -2k + b = 21 \]

3. Получаем систему уравнений:

   \[ \begin{cases} 5k + b = 0 \\ -2k + b = 21 \end{cases} \]

4. Решаем систему методом вычитания (вычтем второе уравнение из первого):

   \[ (5k + b) - (-2k + b) = 0 - 21 \]

   \[ 5k + b + 2k - b = -21 \]

   \[ 7k = -21 \]

   \[ k = -3 \]

5. Найдем b, подставив значение k в первое уравнение:

   \[ 5(-3) + b = 0 \]

   \[ -15 + b = 0 \]

   \[ b = 15 \]

6. Записываем уравнение прямой:

   y = -3x + 15

Ответ: y = -3x + 15

Решение задачи 1:

Пусть $$v_л$$ - скорость велосипедиста на лесной дороге (км/ч), а $$v_ш$$ - скорость на шоссе (км/ч).

Из условия задачи известно:

• Время в пути по лесной дороге: $$t_л = 2$$ ч.
• Время в пути по шоссе: $$t_ш = 1$$ ч.
• Общее расстояние: $$S = 40$$ км.
• Скорость на шоссе на 4 км/ч больше скорости на лесной дороге: $$v_ш = v_л + 4$$.

Формула расстояния: $$S = v imes t$$.

1. Запишем уравнения на основе данных:
   • Расстояние по лесной дороге: $$S_л = v_л imes t_л = v_л imes 2 = 2v_л$$.
   • Расстояние по шоссе: $$S_ш = v_ш imes t_ш = (v_л + 4) imes 1 = v_л + 4$$.
   • Общее расстояние: $$S_л + S_ш = 40$$.
2. Составляем систему уравнений:

   \[ \begin{cases} 2v_л + (v_л + 4) = 40 \\ v_ш = v_л + 4 \end{cases} \]

3. Решаем первое уравнение:

   \[ 2v_л + v_л + 4 = 40 \]

   \[ 3v_л = 40 - 4 \]

   \[ 3v_л = 36 \]

   \[ v_л = 12 \]

4. Находим скорость на шоссе:

   \[ v_ш = v_л + 4 = 12 + 4 = 16 \]

Ответ: Скорость на лесной дороге - 12 км/ч, скорость на шоссе - 16 км/ч.