Контрольная работа по алгебре для 8 класса

Тема: «Уравнения и неравенства. Линейные неравенства и системы неравенств»

Вариант 1

Задание 1. Решите линейные неравенства:

• a) x + 2 > 5;

  Решение:

  1. Вычтем 2 из обеих частей неравенства:

  \[ x + 2 - 2 > 5 - 2 \]

  2. Упростим:

     \[ x > 3 \]

     Ответ:

     x > 3

• б) -2x ≥ 4;

  Решение:

  1. Разделим обе части неравенства на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:

     \[ \frac{-2x}{-2} \le \frac{4}{-2} \]

  2. Упростим:

     \[ x \le -2 \]

     Ответ:

     x \le -2

• в) 3x ≤ 9.

  Решение:

  1. Разделим обе части неравенства на 3:

     \[ \frac{3x}{3} \le \frac{9}{3} \]

  2. Упростим:

     \[ x \le 3 \]

     Ответ:

     x \le 3

Задание 2. Решите неравенство с раскрытием скобок:

5(x-2)+3<2x+7.

Решение:

1. Раскроем скобки:

   \[ 5x - 10 + 3 < 2x + 7 \]

2. Упростим левую часть:

   \[ 5x - 7 < 2x + 7 \]

3. Перенесем члены с x в левую часть, а числа в правую:

   \[ 5x - 2x < 7 + 7 \]

4. Упростим:

   \[ 3x < 14 \]

5. Разделим обе части на 3:

   \[ x < \frac{14}{3} \]

6. Выделим целую часть:

   \[ x < 4 \frac{2}{3} \]

   Ответ:

   x < 4 \frac{2}{3}

Задание 3. Решите систему линейных неравенств и изобразите решение на числовой прямой:

$\backslash begin\{cases\}\; 2x\; +\; 1\; >\; 7\; \backslash \backslash \; x\; -\; 4\; \backslash le\; 2\; \backslash end\{cases\}$

Решение:

1. Решим первое неравенство:

   \[ 2x + 1 > 7 \]

   \[ 2x > 6 \]

   \[ x > 3 \]

2. Решим второе неравенство:

   \[ x - 4 \le 2 \]

   \[ x \le 6 \]

3. Объединим решения:

   \[ 3 < x \le 6 \]

Изображение на числовой прямой:

Ответ:

Задание 4. Найдите все целые решения системы неравенств:

Решение:

1. Решим первое неравенство:

   \[ 3x + 1 > 7 \]

   \[ 3x > 6 \]

   \[ x > 2 \]

2. Решим второе неравенство:

   \[ 2x - 5 < 3 \]

   \[ 2x < 8 \]

   \[ x < 4 \]

3. Объединим решения:

   \[ 2 < x < 4 \]

4. Найдем целые решения в интервале (2; 4). Единственное целое число - это 3. Ответ:

   x = 3

Задание 5. Найдите область определения функции:

$y\; =\; \backslash sqrt\{4-x\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{x+2\}$

Решение:

1. Для того чтобы функция была определена, необходимо выполнение двух условий:
   • Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

     \[ 4 - x \ge 0 \]

     \[ 4 \ge x \]

     \[ x \le 4 \]

   • Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

     \[ x + 2
     e 0 \]

     \[ x
     e -2 \]

2. Объединим оба условия:

   \[ x \le 4 \text{ и } x
   e -2 \]

Ответ: Область определения функции: $(-\backslash infty;\; -2)\; \backslash cup\; (-2;\; 4]$