Контрольная работа по геометрии №5 8 класс по теме: «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников» 1 вариант Задание 1. 1 Постройте угол, косинус которого равен: 1) : 2). Задание 2. 4 Постройте угол, тангенс которого равен: 1)7; 2)3. Задание 3. 2 Постройте угол, синус которого равен: 1) Задание 4. 2) 0,3. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 5 см и 13 см. Найдите; 1) синус острого угла, лежащего против меньшего катета; 2) косинус острого угла, прилежащего к большему катету; 3) тангенс острого угла, лежащего против меньшего катета. Задание 5. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см и 8 см. Найдите; 1) тангенс острого угла, лежащего против меньшего катета; 2) синус острого угла, прилежащего и большему катету; 3) косинус острого угла, лежащего против большего катета. Задание 6. 1 Найдите sin ( и tg C, если cos α = Задание 7. Найдите значение выражения; 1) sin² 45°- cos 60°; 2) 2sin2 60°+ tg 45°. 4'

Задание 4.

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 5 см и 13 см. Найдите:

1. синус острого угла, лежащего против меньшего катета;
2. косинус острого угла, прилежащего к большему катету;
3. тангенс острого угла, лежащего против меньшего катета.

Решение:

Сначала найдем второй катет по теореме Пифагора:

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\]

1. Синус острого угла, лежащего против меньшего катета:

\[sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}\]

2. Косинус острого угла, прилежащего к большему катету:

\[cos(\beta) = \frac{b}{c} = \frac{12}{13}\]

3. Тангенс острого угла, лежащего против меньшего катета:

\[tg(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{5}{12}\]

Задание 5.

В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 см и 8 см. Найдите:

1. тангенс острого угла, лежащего против меньшего катета;
2. синус острого угла, прилежащего к большему катету;
3. косинус острого угла, лежащего против большего катета.

Решение:

1. Тангенс острого угла, лежащего против меньшего катета:

\[tg(\alpha) = \frac{3}{8}\]

2. Синус острого угла, прилежащего к большему катету (гипотенуза \[\sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{73}\]):

\[sin(\beta) = \frac{8}{\sqrt{73}} = \frac{8\sqrt{73}}{73}\]

3. Косинус острого угла, лежащего против большего катета:

\[cos(\beta) = \frac{8}{\sqrt{73}} = \frac{8\sqrt{73}}{73}\]

Задание 6.

Найдите \(sin \alpha \) и \(tg \alpha \), если \(cos \alpha = \frac{1}{4}\).

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\)

\[sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\]

\[sin \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\]

\[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15}\]

Задание 7.

Найдите значение выражения:

1. \[sin^2 45^\circ - cos 60^\circ\]
2. \[2sin^2 60^\circ + tg 45^\circ\]

Решение:

1. \[sin^2 45^\circ - cos 60^\circ = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\]
2. \[2sin^2 60^\circ + tg 45^\circ = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1 = 2 \cdot \frac{3}{4} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}\]