Контрольная работа по геометрии 8 класс 10.03.2026 «Применение подобия, пропорциональные отрезки в прямоугольных треугольниках, свойство биссектрисы, медиан, соотношение сторон в прямоугольных треугольниках» І вариант Когачев Даниил. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Задание 1

Дано: BM:AM = 7:3, MN || AC. Найти MN.

Решение:

Треугольники BMN и BAC подобны по двум углам (угол B общий, углы MNВ и ВАС соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB). Значит, \(\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}\).

Пусть BM = 7x, AM = 3x, тогда BA = BM + AM = 7x + 3x = 10x.

Следовательно, \(\frac{7x}{10x} = \frac{MN}{20}\).

\(MN = \frac{7x \cdot 20}{10x} = \frac{140x}{10x} = 14\).

Ответ: MN = 14

Задание 2

Дано: BM + BK = 9, Найти S_ABCD.

Решение:

Площадь параллелограмма ABCD равна произведению его основания на высоту. В данном случае, AB = 10 является основанием, а KD - высотой, KD = 8

S_ABCD = AB \cdot KD = 10 \cdot 8 = 80.

Ответ: S_ABCD = 80

Задание 3

Дано: AC = 11. Найти AK и KC, если AK = ? и KC = ?

Решение:

Если BK - высота и медиана, то треугольник ABC - равнобедренный (с основанием AC), а высота BK является и биссектрисой. Значит, AK = KC = \(\frac{1}{2}\) AC. Следовательно, AK = KC = \(\frac{11}{2}\) = 5.5

Ответ: AK = 5.5, KC = 5.5

Задание 4

Дано: Средняя линия равнобедренного треугольника равна 3 см, а боковая сторона равна 5 см. Найти периметр треугольника.

Решение:

Средняя линия треугольника, параллельная основанию, равна половине основания. Значит, основание равно 2 \cdot 3 = 6 см. Так как треугольник равнобедренный, две его стороны равны 5 см, а третья сторона (основание) равна 6 см. Периметр равен сумме длин всех сторон. P = 5 + 5 + 6 = 16 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 16 см.

Задание 5

Дано: AM = 15, CK = 12. Найти OM и OC.

Решение:

BO - биссектриса, значит, \(\frac{AO}{OC} = \frac{AM}{MC}\). Треугольник ABC - равнобедренный, значит, AM = CK, следовательно, AM = MC = 15.

\(\frac{AO}{OC} = \frac{15}{15} = 1\), следовательно, AO = OC.

AC = AO + OC = AM + MC = 15 + 15 = 30. Значит, AO = OC = \(\frac{30}{2}\) = 15.

AM = AO + OM, OM = AM - AO = 15 - 15 = 0. OC = 15.

Ответ: OM = 0, OC = 15

Задание 6

Дано: Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит её на отрезки, один из которых равен 27 см. Найдите периметр треугольника, если высота равна 36 см.

Решение:

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C, CH - высота, проведенная к гипотенузе AB. Пусть AH = 27 см, CH = 36 см. Нужно найти периметр треугольника ABC.

По теореме о средней пропорциональности в прямоугольном треугольнике, CH^2 = AH \cdot HB. Значит, 36^2 = 27 \cdot HB, HB = \(\frac{36^2}{27}\) = \(\frac{1296}{27}\) = 48 см.

AB = AH + HB = 27 + 48 = 75 см.

По теореме Пифагора для треугольника ACH, AC^2 = AH^2 + CH^2 = 27^2 + 36^2 = 729 + 1296 = 2025. AC = \(\sqrt{2025}\) = 45 см.

По теореме Пифагора для треугольника BCH, BC^2 = BH^2 + CH^2 = 48^2 + 36^2 = 2304 + 1296 = 3600. BC = \(\sqrt{3600}\) = 60 см.

Периметр треугольника ABC равен P = AC + BC + AB = 45 + 60 + 75 = 180 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 180 см.

Задание 7

Дано: P = 36, c = 13. Найти sin α.

Решение:

Пусть a и b - катеты, c - гипотенуза. P = a + b + c = 36. c = 13, значит, a + b = 36 - 13 = 23.

По теореме Пифагора, a^2 + b^2 = c^2 = 13^2 = 169.

Выразим b через a: b = 23 - a.

Тогда, a^2 + (23 - a)^2 = 169.

a^2 + 529 - 46a + a^2 = 169.

2a^2 - 46a + 360 = 0.

a^2 - 23a + 180 = 0.

Решим квадратное уравнение:

D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 529 - 720 = -191. Так как дискриминант отрицательный, вещественных решений нет. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка, и периметр не может быть равен 36.

Предположим, что периметр P = 30. Тогда a + b = 30 - 13 = 17.

b = 17 - a.

a^2 + (17 - a)^2 = 169.

a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169.

2a^2 - 34a + 120 = 0.

a^2 - 17a + 60 = 0.

D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49. \(\sqrt{D}\) = 7.

a1 = \(\frac{17 + 7}{2}\) = 12, a2 = \(\frac{17 - 7}{2}\) = 5.

Если a = 12, то b = 17 - 12 = 5. Если a = 5, то b = 17 - 5 = 12.

sin α = \(\frac{a}{c}\) = \(\frac{12}{13}\) или sin α = \(\frac{b}{c}\) = \(\frac{5}{13}\).

Ответ: sin α = \(\frac{12}{13}\) или sin α = \(\frac{5}{13}\) при условии, что P = 30.