Контрольная работа по геометрии 8 кл Вариант - 1 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см. 2. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке. 3. Найдите значение выражения: a) sin²16° + cos216° - sin260° б) 4cos245° + tg230° 4. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника АBC (∠C=90°), если АС = 3 см, cosA = 1 4 5. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведенная к основанию, – 9 см. Найдите площадь треугольника.

Ответ: 1) 13 см; 2) 35; 3a) \(1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\); 3б) \(2+\frac{1}{3}=2\frac{1}{3}\); 4) BC = \(\sqrt{45}\); AB = 12; 5) 54 см²

1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см.

• По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• Пусть гипотенуза равна c, тогда: \[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
• Подставляем значения катетов a = 5 см и b = 12 см: \[c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\]

Ответ: 13 см

2. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

• Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] где a и b - основания, h - высота.
• По рисунку определяем длины оснований: a = 4, b = 10 и высота h = 5.
• Подставляем значения: \[S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 5 = \frac{14}{2} \cdot 5 = 7 \cdot 5 = 35\]

Ответ: 35

3. Найдите значение выражения:

a) sin²16° + cos²16° - sin²60°

• Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.
• sin²60° = (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))² = \(\frac{3}{4}\)
• Тогда выражение равно: \[1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\]

Ответ: \(\frac{1}{4}\)

б) 4cos²45° + tg²30°

• cos²45° = (\(\frac{\sqrt{2}}{2}\))² = \(\frac{1}{2}\)
• tg²30° = (\(\frac{1}{\sqrt{3}}\))² = \(\frac{1}{3}\)
• Тогда выражение равно: \[4 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}\]

Ответ: \(2\frac{1}{3}\)

4. Найдите неизвестные стороны прямоугольного треугольника ABC (∠C=90°), если AC = 3 см, cosA = \(\frac{1}{4}\)

• Дано: AC = 3, cosA = \(\frac{1}{4}\).
• cosA = \(\frac{AC}{AB}\), следовательно, AB = \(\frac{AC}{cosA}\) = \(\frac{3}{\frac{1}{4}}\) = 12.
• По теореме Пифагора: BC = \(\sqrt{AB^2 - AC^2}\) = \(\sqrt{12^2 - 3^2}\) = \(\sqrt{144 - 9}\) = \(\sqrt{135}\) = \(\sqrt{9 \cdot 15}\) = 3\(\sqrt{15}\) = \(\sqrt{45}\).

Ответ: BC = \(\sqrt{45}\); AB = 12

5. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведенная к основанию, – 9 см. Найдите площадь треугольника.

• Пусть равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 15 см, и высота BH = 9 см.
• Найдем AH (половину основания) из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора: \[AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\]
• Тогда основание AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 12 = 24 см.
• Площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 9 = 12 \cdot 9 = 108\]

Ответ: 108 см²

Ответ: 1) 13 см; 2) 35; 3a) \(1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\); 3б) \(2+\frac{1}{3}=2\frac{1}{3}\); 4) BC = \(\sqrt{45}\); AB = 12; 5) 54 см²