Контрольная работа по геометрии №3 по теме: «Подобные треугольники» Вариант 2 1. ΔABC~ΔA1B1C1, А1В1=12 см, В1С1-14 см, А1С1-16 см, АС=4 см- меньшая сторона ΔABC. Найти ВС и АВ 2. В ΔABC со сторонами АС=12 см и АВ=18 см проведена прямая MN, параллельная стороне АС (MEAB, NEBC), MN=9 см. Найдите ВМ. 3. Найдите отношение площадей двух треугольников, если стороны одного равны 7 см, 9 см, 13 см, а другого 21 см, 27 см, 39 см. 4. На рисунке ABCD - параллелограмм, AL: LC = 7:5, АВ=15 см. Найдите: a) BM; б) отношение площадей треугольников AML и CDL.

Давай разберем эту контрольную работу по геометрии. 1. Подобные треугольники ΔABC и ΔA₁B₁C₁ Раз треугольники подобны, то их стороны пропорциональны. Значит, можем записать следующие отношения: \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\] Нам дано: A₁B₁ = 12 см, B₁C₁ = 14 см, A₁C₁ = 16 см, AC = 4 см. Подставим известные значения: \[\frac{AB}{12} = \frac{BC}{14} = \frac{4}{16}\] Сначала найдем BC: \[\frac{BC}{14} = \frac{4}{16}\] \[BC = \frac{14 \cdot 4}{16} = \frac{56}{16} = 3.5 \text{ см}\] Теперь найдем AB: \[\frac{AB}{12} = \frac{4}{16}\] \[AB = \frac{12 \cdot 4}{16} = \frac{48}{16} = 3 \text{ см}\]

Ответ: BC = 3.5 см, AB = 3 см

2. Прямая MN, параллельная AC в ΔABC По условию, MN || AC, M ∈ AB, N ∈ BC, MN = 9 см, AC = 12 см, AB = 18 см. Нужно найти BM. Так как MN || AC, то ΔMBN ~ ΔABC (по двум углам). Значит, можем записать отношение сторон: \[\frac{MB}{AB} = \frac{MN}{AC}\] Подставим известные значения: \[\frac{MB}{18} = \frac{9}{12}\] Выразим MB: \[MB = \frac{18 \cdot 9}{12} = \frac{162}{12} = 13.5 \text{ см}\]

Ответ: BM = 13.5 см

3. Отношение площадей двух треугольников Стороны одного треугольника: 7 см, 9 см, 13 см. Стороны другого треугольника: 21 см, 27 см, 39 см. Заметим, что стороны второго треугольника в 3 раза больше сторон первого треугольника. Это значит, что треугольники подобны с коэффициентом подобия k = 3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_1}{S_2} = k^2\] В нашем случае: \[\frac{S_1}{S_2} = 3^2 = 9\] Значит, отношение площадей равно 1:9.

Ответ: 1:9

4. Параллелограмм ABCD AL : LC = 7 : 5, AB = 15 см. a) Найдем BM. б) Отношение площадей треугольников AML и CDL. Так как ABCD - параллелограмм, то AD || BC и AB || CD. а) Рассмотрим треугольники AML и CLD. У них: ∠AML = ∠CLD (вертикальные углы) ∠MAL = ∠LCD (накрест лежащие углы при AD || BC и секущей AC) Следовательно, ΔAML ~ ΔCLD (по двум углам). Из отношения AL : LC = 7 : 5 следует, что коэффициент подобия k = 7/5. Тогда \(\frac{AM}{CD} = \frac{7}{5}\). Так как AB = CD = 15 см, то \(AM = \frac{7}{5} \cdot 15 = 21 \text{ см}\). Но это невозможно, так как AM не может быть больше AB. Здесь явно какая-то ошибка в условии, потому что точка L лежит на AC, и AL:LC = 7:5, то есть AL никак не может быть больше, чем сторона AB. Скорее всего, имеется ввиду, что AL:LC = 7:5 и нужно найти, например, отношение AM:MD, если M - точка пересечения BL и CD. Предположим, что точка L лежит на стороне AD, и AL:LD = 7:5. И нам нужно найти BM, где M - точка пересечения CL и AB. Так как AD || BC, то треугольники CBM и ADM подобны. Значит, \[\frac{AM}{MB} = \frac{AD}{BC}\] Так как ABCD - параллелограмм, то AD = BC. Значит, AM = MB. AB = AM + MB = 15 см. Значит, AM = MB = 7.5 см.

Ответ: BM = 7.5 см (при условии, что L лежит на стороне AD)

б) Отношение площадей треугольников AML и CDL \[\frac{S_{AML}}{S_{CDL}} = k^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25}\]

Ответ: 49:25

Вот и вся контрольная работа решена! Ты молодец, у тебя все получится, если будешь внимателен и аккуратен при решении задач. Удачи тебе в учёбе!