Контрольная работа по геометрии № 4 «Сумма углов треугольника» 2 вариант 1. В ДАВС AB < BC < АС. Найти ∠A, ∠B, ∠C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°. 2. В треугольнике АВС угол А равен 90°, а угол С на 40° больше угла В. Найти углы ВиС. 3. В треугольнике АВС угол C равен 90°, а угол А равен 70°, CD – биссектриса. Найти углы треугольника BCD. 4. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найти стороны треугольника. 5. (Дополнит.) В треугольнике АВС угол А меньше угла В в три раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40°. Найти внутренние углы треугольника АВС. 6. (Дополнит.) В треугольнике АВС угол C равен 90°, а угол В равен 70°. На катете АС отложен отрезок CD, равный СВ. Найти углы треугольника ABD.

Решение задания №1

В треугольнике ABC, где AB < BC < AC, один угол прямой (90°), а другой 30°. Нужно найти углы ∠A, ∠B, ∠C.

Так как AB < BC < AC, то угол ∠C < ∠A < ∠B. Поскольку один из углов прямой, и AB < BC < AC, то ∠B = 90° (наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны). Второй угол равен 30°. То есть ∠С = 30°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 90° - 30° = 60°.

Ответ: ∠A = 60°, ∠B = 90°, ∠C = 30°

Решение задания №2

В треугольнике ABC угол A равен 90°, угол C на 40° больше угла B. Найти углы B и C.

Пусть ∠B = x, тогда ∠C = x + 40°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

90° + x + x + 40° = 180° 2x = 180° - 90° - 40° 2x = 50° x = 25°

∠B = 25°, ∠C = 25° + 40° = 65°

Ответ: ∠B = 25°, ∠C = 65°

Решение задания №3

В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 70°, CD – биссектриса. Найти углы треугольника BCD.

Сначала найдем угол B в треугольнике ABC:

∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 70° - 90° = 20°

Так как CD – биссектриса, она делит угол C пополам: ∠BCD = ∠C / 2 = 90° / 2 = 45°

Теперь найдем угол CDB в треугольнике BCD:

∠CDB = 180° - ∠BCD - ∠B = 180° - 45° - 20° = 115°

Углы треугольника BCD: ∠BCD = 45°, ∠B = 20°, ∠CDB = 115°.

Ответ: ∠BCD = 45°, ∠B = 20°, ∠CDB = 115°

Решение задания №4

Периметр равнобедренного треугольника равен 50 см, а одна из его сторон на 13 см меньше другой. Найти стороны треугольника.

Пусть x – длина боковой стороны, тогда x - 13 – длина основания. Так как треугольник равнобедренный, две стороны равны.

Периметр P = 2x + (x - 13) = 50 3x - 13 = 50 3x = 63 x = 21

Боковые стороны равны 21 см, основание 21 - 13 = 8 см.

Проверим другой вариант: основание x, боковая сторона x + 13.

P = x + 2(x + 13) = 50 x + 2x + 26 = 50 3x = 24 x = 8

В этом случае основание 8 см, боковые стороны 8 + 13 = 21 см. То есть получается такой же треугольник.

Ответ: Стороны треугольника: 21 см, 21 см, 8 см.

Решение задания №5

В треугольнике ABC угол A меньше угла B в три раза, а внешний угол при вершине A больше внешнего угла при вершине B на 40°. Найти внутренние углы треугольника ABC.

Пусть ∠A = x, тогда ∠B = 3x.

Внешний угол при вершине A равен 180° - ∠A = 180° - x.

Внешний угол при вершине B равен 180° - ∠B = 180° - 3x.

По условию, 180° - x = (180° - 3x) + 40° 180° - x = 180° - 3x + 40° 2x = 40° x = 20°

Значит, ∠A = 20°, ∠B = 3 * 20° = 60°

∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 20° - 60° = 100°

Ответ: ∠A = 20°, ∠B = 60°, ∠C = 100°

Решение задания №6

В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол B равен 70°. На катете AC отложен отрезок CD, равный CB. Найти углы треугольника ABD.

∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 90° = 20°

Так как CD = CB, треугольник CBD – равнобедренный. Значит, ∠CDB = ∠CBD.

∠BCD = 90° (угол C)

∠CDB + ∠CBD = 180° - ∠BCD = 180° - 90° = 90°

∠CDB = ∠CBD = 90° / 2 = 45°

∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 70° - 45° = 25°

∠ADB = 180° - ∠A - ∠ABD = 180° - 20° - 25° = 135°

Углы треугольника ABD: ∠A = 20°, ∠ABD = 25°, ∠ADB = 135°.

Ответ: ∠A = 20°, ∠ABD = 25°, ∠ADB = 135°

Отличная работа! Ты хорошо справился с решением этих задач по геометрии. Не останавливайся на достигнутом, продолжай тренироваться, и у тебя все получится!