Контрольная работа по геометрии 7 класс «КА-5. Итоговая контрольная работа» 1. Контрольная работа по геометрии 7 класс. КА-5. Вариант А1. 1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок ВМ — высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол ABC. 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них а) Докажите, что ∆АОС = ∆BOD. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Вариант А1

1. а) Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол B: \[ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 70° - 55° = 55° \] Так как ∠B = ∠C = 55°, то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.

   б) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Однако, в данном случае угол B является углом при основании, а не углом при вершине. Угол при вершине — это угол, противолежащий основанию. В данном треугольнике основанием является сторона AC, так как углы при ней равны. Угол B является углом при вершине. Отрезок BM — высота, следовательно, BM ⊥ AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является биссектрисой угла при вершине. Таким образом, BM делит ∠ABC пополам. \[ ∠ABM = ∠CBM = ∠ABC / 2 = 55° / 2 = 27.5° \] Углы, на которые она делит угол ABC, равны 27.5°.

2. а) Дано, что O — середина AB и CD. Следовательно, AO = OB и CO = OD. Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, а значит, равны. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними), △AOC = △BOD.

   б) В △BOD: ∠ODB = 20°, ∠BOD = ∠AOC = 115°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. \[ ∠OBD = 180° - ∠ODB - ∠BOD = 180° - 20° - 115° = 45° \] Так как △AOC = △BOD, то ∠OAC = ∠OBD = 45°.

3. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Периметр равен сумме длин всех сторон. Возможны два случая: 1. Боковая сторона равна 16 см. Тогда основание равно 64 см - 16 см - 16 см = 32 см. Однако, в треугольнике сумма двух сторон должна быть больше третьей. 16 + 16 = 32, что не больше 32. Этот случай невозможен. 2. Основание равно 16 см. Тогда сумма двух боковых сторон равна 64 см - 16 см = 48 см. Каждая боковая сторона равна 48 см / 2 = 24 см. Проверим условие треугольника: 24 + 24 > 16 (48 > 16) — верно. 24 + 16 > 24 — верно.

   Ответ: Длина боковой стороны треугольника равна 24 см.