Контрольная работа по геометрии по теме «Треугольники» Вариант 6. 1. Докажите равенство треугольников 2. Периметр равнобедренного треугольника 80 см, основание на 16 см меньше боковой стороны. Найдите стороны. 3. Периметр треугольника 100 см, одна сторона в 5 раз меньше другой и на 10 см больше третьей. Найдите стороны. 4. В треугольнике ABC, ∠B=90°, ∠C=30°, высота ВВ1-5 см. Найдите АВ. 5. Один острый угол прямоугольного треугольника в 8 раз больше другого. Найдите углы.

1. Доказательство равенства треугольников. Для доказательства равенства треугольников необходимо установить, что \(\triangle PNO = \triangle MKO\).

Условие:

• \(PO = OK\)
• \(NO = OM\)
• \(\angle PON = \angle KOM\) (как вертикальные)

Следовательно, \(\triangle PNO = \triangle MKO\) по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

2. Решение задачи о равнобедренном треугольнике.

Пусть \(x\) см - боковая сторона, тогда \(x-16\) см - основание. Периметр равен сумме всех сторон:

\(x + x + x - 16 = 80\)

\(3x = 96\)

\(x = 32\)

Боковая сторона: 32 см, основание: \(32 - 16 = 16\) см.

Ответ: 32 см, 32 см, 16 см.

3. Решение задачи о треугольнике.

Пусть \(x\) см - первая сторона, тогда \(5x\) см - вторая сторона, \(x + 10\) см - третья сторона.

Периметр равен сумме всех сторон:

\(x + 5x + x + 10 = 100\)

\(7x = 90\)

\(x = \frac{90}{7} \approx 12.86\)

Первая сторона: \(\frac{90}{7}\) см, вторая сторона: \(\frac{450}{7}\) см, третья сторона: \(\frac{160}{7}\) см.

Ответ: \(\frac{90}{7}\) см, \(\frac{450}{7}\) см, \(\frac{160}{7}\) см.

4. Решение задачи о прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном \(\triangle ABC\) с \(\angle B = 90^\circ\) и \(\angle C = 30^\circ\), высота \(BB_1 = 5\) см.

Так как \(\angle C = 30^\circ\), то катет \(AB\), противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы \(AC\). То есть, \(AC = 2AB\).

Также можно найти угол \(\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Рассмотрим \(\triangle BB_1C\). В нем \(\angle BB_1C = 90^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\), значит, \(\angle B_1BC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Рассмотрим \(\triangle BB_1A\). В нем \(\angle BB_1A = 90^\circ\), \(\angle A = 60^\circ\), значит, \(\angle B_1BA = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

Тогда \(\angle B = \angle B_1BC + \angle B_1BA\). \(90 = 60 + 30\)

В прямоугольном треугольнике \(BB_1C\) катет \(BB_1\) лежит против угла в \(30^\circ\), значит, гипотенуза \(BC = 2BB_1 = 2 \cdot 5 = 10\) см.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(AB\) лежит против угла в \(30^\circ\). Тогда гипотенуза \(BC = 2 \cdot AB\). То есть, \(10 = 2 \cdot AB\).

\(AB = 5\) см

Ответ: 5 см.

5. Решение задачи об углах прямоугольного треугольника.

Пусть \(x\) - меньший острый угол, тогда \(8x\) - больший острый угол.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.

\(x + 8x = 90\)

\(9x = 90\)

\(x = 10\)

Меньший угол: \(10^\circ\), больший угол: \(8 \cdot 10 = 80^\circ\).

Ответ: \(10^\circ\), \(80^\circ\).