Контрольная работа по геометрии в 10 классе по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей» Вариант 1 1. Из вершины В параллелограмма ABCD проведен перпендикуляр ВМ к плоскости АВС. Вычислите расстояние от точки М до прямой AD, если АВ = 5см, ВМ = 10см, угол А равен 45°. 2. Через точку, удаленную от плоскости на расстояние 5см, проведены к этой плоскости две наклонные по 13см каждая. Угол между проекциями этих наклонных равен 60°. Найдите расстояние между основаниями наклонных. 3. Диагональ куба равна 6см. Найдите: а) Ребро куба. 6) Косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Вариант 1

1. Пусть дан параллелограмм $$ABCD$$, $$BM$$ – перпендикуляр к плоскости $$ABC$$. Требуется найти расстояние от точки $$M$$ до прямой $$AD$$, если $$AB = 5 \text{ см}$$, $$BM = 10 \text{ см}$$, угол $$A = 45^\circ$$.

   Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Опустим перпендикуляр $$MH$$ на прямую $$AD$$. Рассмотрим треугольник $$ABM$$. Так как $$BM$$ перпендикулярен плоскости $$ABC$$, то он перпендикулярен и прямой $$AB$$, лежащей в этой плоскости. Значит, треугольник $$ABM$$ прямоугольный.

   Опустим перпендикуляр $$BK$$ на прямую $$AD$$. Рассмотрим треугольник $$ABK$$. Он прямоугольный, так как $$BK$$ перпендикулярна $$AD$$. Угол $$A = 45^\circ$$, следовательно, угол $$ABK = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Значит, треугольник $$ABK$$ равнобедренный, и $$AK = BK$$. По теореме синусов, $$\frac{BK}{\sin A} = AB$$, откуда $$BK = AB \cdot \sin A = 5 \cdot \sin 45^\circ = 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см}$$.

   Так как $$BM$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, то она перпендикулярна и прямой $$BK$$, лежащей в этой плоскости. Значит, угол $$MBK = 90^\circ$$. Рассмотрим четырехугольник $$BMHK$$. Углы $$MBK$$, $$BKH$$ и $$BMH$$ прямые, следовательно, это прямоугольник. Значит, $$MH = BK = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см}$$

   Ответ:$$\frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см}$$

2. Пусть дана точка, удаленная от плоскости на расстояние $$5 \text{ см}$$. Из этой точки проведены к плоскости две наклонные по $$13 \text{ см}$$ каждая. Угол между проекциями этих наклонных равен $$60^\circ$$. Требуется найти расстояние между основаниями наклонных.

   Пусть $$A$$ и $$B$$ – основания наклонных, $$O$$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Тогда $$AO = BO = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$. Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, угол $$AOB = 60^\circ$$, следовательно, треугольник $$AOB$$ равносторонний, и $$AB = AO = BO = 12 \text{ см}$$

   Ответ: $$12 \text{ см}$$

3. Пусть дана диагональ куба, равная $$6 \text{ см}$$.

   1. Найдем ребро куба. Обозначим ребро куба за $$a$$. Тогда диагональ куба равна $$a\sqrt{3}$$. $$a\sqrt{3} = 6$$, $$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$.

   2. Найдем косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. Пусть диагональ куба $$AC_1$$, ребро куба равно $$a$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. $$AC_1 = a\sqrt{3}$$, $$CC_1 = a$$, $$AC = a\sqrt{2}$$. Тогда $$\cos \angle ACC_1 = \frac{AC}{AC_1} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$.

   Ответ: а) $$2\sqrt{3} \text{ см}$$, б) $$\frac{\sqrt{6}}{3}$$