Контрольная работа по геометрии за 3 четверть Вариант 1 1. В треугольнике углы относятся как 2:3:4. Найдите углы треугольника. 2. В равнобедренном треугольнике МNK MN=3см, МК-8см. Найдите сторону NK. 3. В треугольнике АВС угол А прямой, АВ=8,2см, ВС=16,4см. найдите углы В и С. 4. В равнобедренном треугольнике проведены высоты из вершин при основании. Докажите, что они равны.

Ответ: \(40^\circ\), \(60^\circ\), \(80^\circ\)

Решение:

1. Пусть углы треугольника равны \(2x\), \(3x\) и \(4x\).
2. Тогда \(2x + 3x + 4x = 180^\circ\).
3. \(9x = 180^\circ\).
4. \(x = 20^\circ\).
5. Углы треугольника:
6. \(2x = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\).
7. \(3x = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ\).
8. \(4x = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ\).

Ответ: \(40^\circ\), \(60^\circ\), \(80^\circ\)

Ответ: NK = 3 см.

Решение:

В равнобедренном треугольнике MNK, MN = 3 см, MK = 8 см. Нужно найти сторону NK.

Так как треугольник равнобедренный, то либо MN = NK, либо MK = MN.

Если MK = MN, то 8 см = 3 см, что неверно.

Следовательно, MN = NK = 3 см.

Ответ: NK = 3 см.

Ответ: \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\)

Решение:

1. Дано: треугольник ABC, \(\angle A = 90^\circ\), AB = 8.2 см, BC = 16.4 см.
2. Найти: \(\angle B\) и \(\angle C\).
3. Решение:

1. \(\sin B = \frac{AC}{BC}\)
2. Найдем AC по теореме Пифагора: \(AC^2 + AB^2 = BC^2\)
3. \(AC^2 = BC^2 - AB^2\)
4. \(AC^2 = (16.4)^2 - (8.2)^2 = 268.96 - 67.24 = 201.72\)
5. \(AC = \sqrt{201.72} = 14.2\) см (приблизительно)

1. Тогда: \(\sin B = \frac{8.2}{16.4} = 0.5\)
2. \(\angle B = \arcsin(0.5) = 30^\circ\)
3. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.
4. \(\angle C = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)

Итого:

• \(\angle B = 30^\circ\)
• \(\angle C = 60^\circ\)

Ответ: \(\angle B = 30^\circ\), \(\angle C = 60^\circ\)

Ответ: Высоты, проведенные из вершин при основании равнобедренного треугольника, равны.

Доказательство:

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC.
2. Проведем высоты BB1 и CC1 из вершин B и C к сторонам AB и BC соответственно.
3. Рассмотрим треугольники BB1C и CC1B.
4. \(\angle BB1C = \angle CC1B = 90^\circ\) (высоты)
5. BC – общая сторона.
6. \(\angle B1BC = \angle C1CB\) (как углы при основании равнобедренного треугольника).
7. Следовательно, \(\triangle BB1C = \triangle CC1B\) (по углу и гипотенузе).
8. Тогда BB1 = CC1 (как соответственные элементы равных треугольников).
9. Таким образом, высоты, проведенные из вершин при основании равнобедренного треугольника, равны.

Ответ: Высоты, проведенные из вершин при основании равнобедренного треугольника, равны.