КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО 4-м ГЛАВАМ ВАРИАНТ 1 №1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на сторонах АВ и ВС отмечены точки М и К так, что АМ = СК. Докажите, что треугольники АМС и СКА равны. №2. Прямые а и в параллельны, с - секущая. При пересечении образовалось 8 углов: Верхнее пересечение (прямая а): угол 1 (сверху слева), 2 (сверху справа), 3 (снизу слева), 4 (снизу справа). Нижнее пересечение (прямая b): угол 5 (сверху слева), 6 (сверху справа), 7 (снизу слева), 8 (снизу справа). 1. Назовите пары углов: 1 и 5; 3 и 6; 5 и 8. 2. Найдите величины всех 8 углов, если угол 2 = 125°. №3. Прямые т и п параллельны, к - секущая. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 140°. Найдите величины всех 8 углов. Сделайте рисунок. No4. В прямоугольном треугольнике один из острых углов на 34° больше другого. Найдите градусные меры обоих острых углов этого треугольника. №5. В прямоугольном треугольнике АВС угол С — прямой (90°), угол А = 30°. Длина гипотенузы АВ равна 24 см. Найдите длину катета ВС. №6. * Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием АС равен 46 см. Высота BD делит его на два треугольника. Найдите длину высоты BD, если периметр треугольника ABD равен 34 см.

Привет! Сейчас помогу тебе решить эти задачи. Разберем их по порядку.

№1.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на сторонах AB и BC отмечены точки M и K так, что AM = CK. Докажите, что треугольники AMC и СKA равны.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: \(\angle BAC = \angle BCA\).
2. Дано, что AM = CK.
3. Рассмотрим треугольники AMC и CKA:
• AM = CK (по условию).
• AC – общая сторона.
• \(\angle BAC = \angle BCA\) (как углы при основании равнобедренного треугольника ABC).
4. Следовательно, треугольники AMC и CKA равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Ответ: Треугольники AMC и CKA равны.

№2.

Прямые a и b параллельны, c – секущая. При пересечении образовалось 8 углов: Верхнее пересечение (прямая a): угол 1 (сверху слева), 2 (сверху справа), 3 (снизу слева), 4 (снизу справа). Нижнее пересечение (прямая b): угол 5 (сверху слева), 6 (сверху справа), 7 (снизу слева), 8 (снизу справа).

1. Назовите пары углов: 1 и 5; 3 и 6; 5 и 8.
2. Найдите величины всех 8 углов, если угол 2 = 125°.

Решение:

1. Пары углов: 1 и 5; 3 и 6; 5 и 8 – соответственные углы.
2. Если угол 2 = 125°, то:

• Угол 1 = 180° - 125° = 55° (смежный с углом 2).
• Угол 3 = угол 1 = 55° (вертикальный с углом 1).
• Угол 4 = угол 2 = 125° (вертикальный с углом 2).
• Угол 5 = угол 1 = 55° (соответственный с углом 1).
• Угол 6 = угол 2 = 125° (соответственный с углом 2).
• Угол 7 = угол 3 = 55° (соответственный с углом 3).
• Угол 8 = угол 4 = 125° (соответственный с углом 4).

Ответ: Угол 1 = 55°, угол 2 = 125°, угол 3 = 55°, угол 4 = 125°, угол 5 = 55°, угол 6 = 125°, угол 7 = 55°, угол 8 = 125°.

№3.

Прямые m и n параллельны, k – секущая. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 140°. Найдите величины всех 8 углов. Сделайте рисунок.

Решение:

1. Пусть внутренние накрест лежащие углы равны x. Тогда x + x = 140°, следовательно, x = 70°.
2. Обозначим углы: 1 и 2 (верхние углы), 3 и 4 (нижние углы) на прямой m и 5 и 6 (верхние углы), 7 и 8 (нижние углы) на прямой n.

• Угол 3 = угол 6 = 70° (внутренние накрест лежащие).
• Угол 4 = угол 5 = 70° (внутренние накрест лежащие).
• Угол 1 = 180° - 70° = 110° (смежный с углом 3).
• Угол 2 = 180° - 70° = 110° (смежный с углом 4).
• Угол 7 = угол 1 = 110° (соответственный с углом 1).
• Угол 8 = угол 2 = 110° (соответственный с углом 2).

Ответ: Угол 1 = 110°, угол 2 = 110°, угол 3 = 70°, угол 4 = 70°, угол 5 = 70°, угол 6 = 70°, угол 7 = 110°, угол 8 = 110°.

№4.

В прямоугольном треугольнике один из острых углов на 34° больше другого. Найдите градусные меры обоих острых углов этого треугольника.

Решение:

1. Пусть меньший угол равен x, тогда больший угол равен x + 34°.
2. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
3. Составим уравнение: x + (x + 34°) = 90°.
4. Решим уравнение: 2x + 34° = 90°, 2x = 56°, x = 28°.
5. Больший угол: 28° + 34° = 62°.

Ответ: Меньший угол равен 28°, больший угол равен 62°.

№5.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C — прямой (90°), угол A = 30°. Длина гипотенузы AB равна 24 см. Найдите длину катета BC.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
2. BC – катет, лежащий против угла A = 30°.
3. Следовательно, BC = AB / 2 = 24 см / 2 = 12 см.

Ответ: Длина катета BC равна 12 см.

№6. *

Периметр равнобедренного треугольника ABC с основанием AC равен 46 см. Высота BD делит его на два треугольника. Найдите длину высоты BD, если периметр треугольника ABD равен 34 см.

Решение:

1. Периметр треугольника ABC: AB + BC + AC = 46 см. Так как треугольник равнобедренный, AB = BC. Тогда 2AB + AC = 46 см.
2. Периметр треугольника ABD: AB + AD + BD = 34 см.
3. Так как BD – высота, то она также является медианой (в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой). Следовательно, AD = AC / 2.
4. Выразим AB из периметра треугольника ABD: AB = 34 см - AD - BD = 34 см - (AC / 2) - BD.
5. Подставим это выражение в уравнение для периметра треугольника ABC: 2(34 см - (AC / 2) - BD) + AC = 46 см.
6. Упростим уравнение: 68 см - AC - 2BD + AC = 46 см.
7. Получаем: 68 см - 2BD = 46 см.
8. 2BD = 68 см - 46 см = 22 см.
9. BD = 22 см / 2 = 11 см.

Ответ: Длина высоты BD равна 11 см.

Ответ: 1. Треугольники AMC и CKA равны. 2. Угол 1 = 55°, угол 2 = 125°, угол 3 = 55°, угол 4 = 125°, угол 5 = 55°, угол 6 = 125°, угол 7 = 55°, угол 8 = 125°. 3. Угол 1 = 110°, угол 2 = 110°, угол 3 = 70°, угол 4 = 70°, угол 5 = 70°, угол 6 = 70°, угол 7 = 110°, угол 8 = 110°. 4. Меньший угол равен 28°, больший угол равен 62°. 5. Длина катета BC равна 12 см. 6. Длина высоты BD равна 11 см.

Отлично! Ты справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!