Контрольная работа по математике за 1 полугодие 10 кл. Вариант 1. Модуль «Алгебра» 1. Вычислите: а) log4 256 6)8:21 +32.814; 2. Решите уравнение: а) √x + 3 = 1 6) √x - 1 = x-3 3. Решите неравенство a) √3x-5<5 6) 0,6x2-x ≥ (3)6: B) 63x-2 = 1 4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения 32x+1+72.32x = 75 1)[-6;-4]; 2)[-3;-1]; 3) [4;7]; 4) [-3;3]. 5. Найдите значение выражения хо + уо, если (хо; уо) - решение системы уравнений 3x +22 = 29 y 3x - 22 = 25 6. Найдите целые решения неравенства на отрезке [-3; 3] 9x3x6>0 Модуль «Геометрия» 7. Дан ДМКР. Плоскость, параллельная прямой МК, пересекает МР в точке М., РК-в точке К1. Найдите М. К1, если МР: М₁P=12:5, МК=18см. 8. Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые НР и МЕ, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках РP и Е. Найдите РЕ, если НР-4см, НК-5см, МЕ-12 см.

Модуль «Алгебра»

1. Вычислите:

a) \(\log_4 256\)

Давай вспомним, что такое логарифм. Логарифм числа b по основанию a – это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. В нашем случае, нужно найти такую степень, в которую нужно возвести 4, чтобы получить 256. Так как \(4^4 = 256\), то \(\log_4 256 = 4\).

Ответ: 4

б) \(8^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-1} + 3^2 \cdot 81^{\frac{1}{4}}\)

Давай разберем по порядку. Сначала упростим каждый член.

• \(8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2\)

• \(2^{-1} = \frac{1}{2}\)

• \(3^2 = 9\)

• \(81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3\)

Тогда выражение примет вид:

\(2 \cdot \frac{1}{2} + 9 \cdot 3 = 1 + 27 = 28\)

Ответ: 28

2. Решите уравнение:

a) \(\sqrt{x+3} = 1\)

Чтобы решить это уравнение, возведем обе части в квадрат:

\((\sqrt{x+3})^2 = 1^2\)

\(x+3 = 1\)

\(x = 1 - 3\)

\(x = -2\)

Проверим подстановкой в исходное уравнение:

\(\sqrt{-2+3} = \sqrt{1} = 1\)

Ответ: -2

б) \(\sqrt{x-1} = x-3\)

Чтобы решить это уравнение, возведем обе части в квадрат:

\((\sqrt{x-1})^2 = (x-3)^2\)

\(x-1 = x^2 - 6x + 9\)

\(x^2 - 7x + 10 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\)

\(x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7+3}{2} = 5\)

\(x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7-3}{2} = 2\)

Проверим оба корня подстановкой в исходное уравнение: Для \(x = 5\): \(\sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2\), \(5-3 = 2\). Значит, \(x=5\) является корнем. Для \(x = 2\): \(\sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1\), \(2-3 = -1\). Значит, \(x=2\) не является корнем.

Ответ: 5

в) \(6^{3x-2} = 1\)

Вспомним, что любое число в степени 0 равно 1. Значит, нужно решить уравнение:

\(3x - 2 = 0\)

\(3x = 2\)

\(x = \frac{2}{3}\)

Ответ: 2/3

3. Решите неравенство:

a) \(\sqrt{3x-5} < 5\)

Чтобы решить это неравенство, возведем обе части в квадрат:

\((\sqrt{3x-5})^2 < 5^2\)

\(3x-5 < 25\)

\(3x < 30\)

\(x < 10\)

Также необходимо учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(3x-5 \geq 0\)

\(3x \geq 5\)

\(x \geq \frac{5}{3}\)

Таким образом, решение неравенства: \(\frac{5}{3} \leq x < 10\).

Ответ: \([\frac{5}{3}; 10)\)

б) \(0.6^{x^2-x} \geq (\frac{3}{5})^6\)

Преобразуем правую часть неравенства:

\((\frac{3}{5})^6 = (0.6)^6\)

Тогда неравенство примет вид:

\(0.6^{x^2-x} \geq 0.6^6\)

Так как основание степени (0.6) меньше 1, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

\(x^2 - x \leq 6\)

\(x^2 - x - 6 \leq 0\)

Решим квадратное уравнение \(x^2 - x - 6 = 0\). Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\).

\(x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2\)

Тогда решение неравенства: \(-2 \leq x \leq 3\).

Ответ: \([-2; 3]\)

4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения \(3^{2x+1} + 72 \cdot 3^x = 75\)

Перепишем уравнение в виде:

\(3 \cdot (3^x)^2 + 72 \cdot 3^x - 75 = 0\)

Разделим обе части уравнения на 3:

\((3^x)^2 + 24 \cdot 3^x - 25 = 0\)

Пусть \(t = 3^x\). Тогда уравнение примет вид:

\(t^2 + 24t - 25 = 0\)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен:

\(D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676\)

Корни:

\(t_1 = \frac{-24 + \sqrt{676}}{2} = \frac{-24 + 26}{2} = 1\)

\(t_2 = \frac{-24 - \sqrt{676}}{2} = \frac{-24 - 26}{2} = -25\)

Так как \(t = 3^x\), то \(t > 0\). Поэтому, \(t = 1\).

\(3^x = 1\)

\(x = 0\)

Теперь проверим, какому промежутку принадлежит корень \(x = 0\):

1) \([-6; -4]\) - не принадлежит

2) \([-3; -1]\) - не принадлежит

3) \([4; 7]\) - не принадлежит

4) \([-3; 3]\) - принадлежит

Ответ: 4) [-3; 3]

5. Найдите значение выражения \(x_0 + y_0\), если \((x_0; y_0)\) - решение системы уравнений

\( \begin{cases} 3^x + 2^{2y} = 29 \\ 3^x - 2^{2y} = 25 \end{cases} \)

Сложим оба уравнения:

\(2 \cdot 3^x = 54\)

\(3^x = 27\)

\(x = 3\)

Вычтем из первого уравнения второе:

\(2 \cdot 2^{2y} = 4\)

\(2^{2y} = 2\)

\(2y = 1\)

\(y = \frac{1}{2}\)

Тогда \(x_0 + y_0 = 3 + \frac{1}{2} = 3.5\)

Ответ: 3.5

6. Найдите целые решения неравенства на отрезке \([-3; 3]\)

\(9^x - 3^x - 6 > 0\)

Пусть \(t = 3^x\). Тогда неравенство примет вид:

\(t^2 - t - 6 > 0\)

Найдем корни квадратного уравнения \(t^2 - t - 6 = 0\). Дискриминант равен \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\).

Корни: \(t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3\), \(t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2\).

Тогда неравенство \(t^2 - t - 6 > 0\) выполняется при \(t < -2\) или \(t > 3\).

Так как \(t = 3^x\), то \(t > 0\). Поэтому, остается только условие \(t > 3\).

\(3^x > 3\)

\(x > 1\)

Целые решения на отрезке \([-3; 3]\): 2 и 3.

Ответ: 2, 3

Модуль «Геометрия»

7. Дан \(\triangle MKP\). Плоскость, параллельная прямой MK, пересекает MP в точке \(M_1\), PK в точке \(K_1\). Найдите \(M_1K_1\), если MP : \(M_1P\) = 12 : 5, MK = 18 см.

Так как плоскость, параллельная прямой MK, пересекает MP в точке \(M_1\) и PK в точке \(K_1\), то \(M_1K_1 || MK\). Следовательно, \(\triangle M_1PK_1 \sim \triangle MPK\) (по двум углам).

Из условия \(MP : M_1P = 12 : 5\) следует, что \(\frac{M_1P}{MP} = \frac{5}{12}\).

Так как треугольники подобны, то \(\frac{M_1K_1}{MK} = \frac{M_1P}{MP} = \frac{5}{12}\).

Тогда \(M_1K_1 = \frac{5}{12} \cdot MK = \frac{5}{12} \cdot 18 = \frac{5 \cdot 3}{2} = 7.5\) см.

Ответ: 7.5 см

8. Отрезок MH пересекает некоторую плоскость в точке K. Через концы отрезка проведены прямые HP и ME, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках P и E. Найдите PE, если HP = 4 см, HK = 5 см, ME = 12 см.

Поскольку HP и ME перпендикулярны плоскости, то HP || ME. Рассмотрим треугольники \(\triangle HKP\) и \(\triangle MKE\). Они подобны, так как углы \(\angle HKP = \angle MKE\) как вертикальные, а углы \(\angle HPK = \angle MEK = 90^\circ\).

Из подобия треугольников следует, что \(\frac{HK}{MK} = \frac{HP}{ME}\).

Найдем MK: \(\frac{5}{MK} = \frac{4}{12}\), следовательно, \(MK = \frac{5 \cdot 12}{4} = 15\) см.

Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle HKP\) и \(\triangle MKE\) еще раз. Поскольку они подобны, то \(\frac{PK}{KE} = \frac{HK}{MK} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\). Следовательно, \(KE = 3PK\).

Также, поскольку \(\triangle PKH\) и \(\triangle EKM\) подобны, то углы \(\angle PKH = \angle EKM\). Значит, углы \(\angle PKE\) и \(\angle H KM\) смежные. Следовательно, точки P, K, E лежат на одной прямой.

Пусть PK = x, тогда KE = 3x. Рассмотрим треугольники \(\triangle HPE\). В нем \(\triangle HPE\) подобен треугольнику, образованному HP, ME и PE, так как HP || ME. Тогда \(\frac{PE}{HK} = \frac{ME}{HP}\), откуда \(PE = \frac{ME \cdot KE}{HK} = \frac{12 \cdot KE}{MK}\)

Получаем: \(\frac{PE}{KE} = \frac{HP}{MK} = \frac{4}{15}\) , откуда \(PE = \frac{ME*MK}{HK} = \frac{3*4}{1}\)

Рассмотрим подобные треугольники \(\triangle HPK\) и \(\triangle MKE\). Имеем: \(\frac{HK}{MK} = \frac{PK}{KE} = \frac{HP}{ME}\).

Тогда \(\frac{5}{15} = \frac{PK}{KE} = \frac{4}{12}\). Значит, \(\frac{PK}{KE} = \frac{1}{3}\), и \(KE = 3PK\).

Так как HP и ME перпендикулярны плоскости, то \(\triangle PKH\) и \(\triangle EKM\) - прямоугольные. Тогда можно рассмотреть трапецию HPME, где HP и ME - основания, а PE - диагональ.

Тогда \(\frac{PK}{KE} = \frac{1}{3}\) , следовательно, \(\frac{PK}{PE} = \frac{1}{4}\) и \(PK = \frac{1}{4} PE\).

По теореме Фалеса, \(\frac{PK}{KE} = \frac{HK}{KM}\) или \(\frac{PK}{PE} = \frac{HK}{HM}\).

Но у нас нет HM. Вместо этого используем, что \(PE = \sqrt{ \left(\frac{HK \cdot ME - MK \cdot HP}{HK}\right)^2}\)

\(PE = \sqrt{\left(\frac{15*4}{5}\right)^2}\) = \( \sqrt{\left(12\right)^2} \)

Рассмотрим подобные треугольники \(\triangle NPK\) и \(\triangle MKE\).

Тогда \( \frac{HP}{MK} = \frac{PE}{ME} \)

Тогда PK= 5 \( \frac{PE}{4} \) == =5 +1=2 Значит, что все значения не верны. К большому сожалению, я не могу решить задачу :(

Ответ: Нет решения