Контрольная работа по теме: " Неравенства. Системы уравнений" 1 вариант [2x + y = 3, 1. Решите методом подстановки систему уравнений 3х + 2y = 2. уравнений 4х + 5y = 2, 13x-5y = 19. 2. Решите методом сложения систему уравн 3. Решите неравенство: 1) -5x > 15; 4) x²-4x-5 > 0; 2)3+x>7-x 4. Решите систему неравенств: 3) x² > 16; 2 1) { (4x-16 < 0, 4x +11 > 31, 2) (3x + 12 > 0; 5-3x < 17. 5. Найдите множество решений неравенства: 1) x+4+x-1 > 0; 2x 10 5 15 2) 3x + 12 > 2(4x - 3) – 5x.

1. Решение системы уравнений методом подстановки:

Система уравнений:

\[\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 3x + 2y = 2 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения:

\[y = 3 - 2x\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[3x + 2(3 - 2x) = 2\]

Решим полученное уравнение относительно x:

\[3x + 6 - 4x = 2\] \[-x = -4\] \[x = 4\]

Подставим найденное значение x в выражение для y:

\[y = 3 - 2(4)\] \[y = 3 - 8\] \[y = -5\]

Ответ: x = 4, y = -5

2. Решение системы уравнений методом сложения:

Система уравнений:

\[\begin{cases} 4x + 5y = 2 \\ 3x - 5y = 19 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[(4x + 5y) + (3x - 5y) = 2 + 19\] \[7x = 21\] \[x = 3\]

Подставим найденное значение x в первое уравнение:

\[4(3) + 5y = 2\] \[12 + 5y = 2\] \[5y = -10\] \[y = -2\]

Ответ: x = 3, y = -2

3. Решение неравенств:

1) -5x > 15

Разделим обе части на -5 (знак неравенства меняется):

\[x < -3\]

Ответ: x < -3

2) 3 + x > 7 - x

Перенесем x в одну сторону, числа в другую:

\[2x > 4\] \[x > 2\]

Ответ: x > 2

3) x² > 16

\[x^2 - 16 > 0\] \[(x - 4)(x + 4) > 0\]

Решим методом интервалов:

Интервалы: (-∞, -4), (-4, 4), (4, +∞)

Проверим знак на каждом интервале:

• (-∞, -4): (-5 - 4)(-5 + 4) = (-9)(-1) > 0
• (-4, 4): (0 - 4)(0 + 4) = (-4)(4) < 0
• (4, +∞): (5 - 4)(5 + 4) = (1)(9) > 0

Ответ: x < -4 или x > 4

4) x² - 4x - 5 > 0

Решим квадратное уравнение x² - 4x - 5 = 0

\[D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36\] \[x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1\]

Метод интервалов: (-∞, -1), (-1, 5), (5, +∞)

Проверим знак на каждом интервале:

• (-∞, -1): (-2)² - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 > 0
• (-1, 5): (0)² - 4(0) - 5 < 0
• (5, +∞): (6)² - 4(6) - 5 = 36 - 24 - 5 > 0

Ответ: x < -1 или x > 5

4. Решение системы неравенств:

1)

\[\begin{cases} 4x - 16 < 0 \\ 3x + 12 > 0 \end{cases}\]

Решим каждое неравенство:

\[4x < 16 \Rightarrow x < 4\] \[3x > -12 \Rightarrow x > -4\]

Ответ: -4 < x < 4

2)

\[\begin{cases} 4x + 11 > 31 \\ 5 - 3x < 17 \end{cases}\]

Решим каждое неравенство:

\[4x > 20 \Rightarrow x > 5\] \[-3x < 12 \Rightarrow x > -4\]

Ответ: x > 5

5. Найдите множество решений неравенства:

1)

\[\frac{2x}{10} + \frac{x + 4}{5} + \frac{x - 1}{15} > 0\]

Приведем к общему знаменателю (30):

\[\frac{6x + 6(x + 4) + 2(x - 1)}{30} > 0\] \[6x + 6x + 24 + 2x - 2 > 0\] \[14x + 22 > 0\] \[14x > -22\] \[x > -\frac{11}{7}\]

Ответ: x > -11/7

2) 3x + 12 > 2(4x - 3) – 5x

\[3x + 12 > 8x - 6 - 5x\] \[3x + 12 > 3x - 6\] \[12 > -6\]

Это неравенство верно всегда, следовательно, x может быть любым числом.

Ответ: x ∈ ℝ (любое число)