Контрольная работа по теме: " Неравенства. Системы уравнений" 1 вариант 1. Решите систему уравнений: x - y = 6, a) x² + y² = 20; x - y = 4, 6) xy + y² = 6; 2. Решить неравенство: 5(x-1)+8≤ 1-3(x+2). 3x-2<2+5x, 3. Решите систему неравенств: 18x > 15-2x. 4. Решите задачу: Периметр прямоугольника равен 26 м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника. 5. Найдите множество решений неравенства: 1) 2xx+4+x-1>0; 5 10 15

1. Решите систему уравнений:

a) \( \begin{cases} x - y = 6, \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} \)

Выразим x из первого уравнения: x = y + 6

Подставим во второе уравнение: \( (y + 6)^2 + y^2 = 20 \)

Раскроем скобки и упростим: \( y^2 + 12y + 36 + y^2 = 20 \Rightarrow 2y^2 + 12y + 16 = 0 \)

Разделим на 2: \( y^2 + 6y + 8 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\)

\( y_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = -2\)

\( y_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 - 2}{2} = -4\)

Найдем соответствующие значения x:

\( x_1 = -2 + 6 = 4\)

\( x_2 = -4 + 6 = 2\)

Решения системы: (4; -2) и (2; -4)

б) \( \begin{cases} x - y = 4, \\ xy + y^2 = 6 \end{cases} \)

Выразим x из первого уравнения: x = y + 4

Подставим во второе уравнение: \( (y + 4)y + y^2 = 6 \)

Раскроем скобки и упростим: \( y^2 + 4y + y^2 = 6 \Rightarrow 2y^2 + 4y - 6 = 0 \)

Разделим на 2: \( y^2 + 2y - 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)

\( y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\)

\( y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3\)

Найдем соответствующие значения x:

\( x_1 = 1 + 4 = 5\)

\( x_2 = -3 + 4 = 1\)

Решения системы: (5; 1) и (1; -3)

2. Решить неравенство: \(5(x-1) + 8 \le 1 - 3(x+2)\)

Раскроем скобки: \(5x - 5 + 8 \le 1 - 3x - 6\)

Упростим: \(5x + 3 \le -3x - 5\)

Перенесем слагаемые с x в одну сторону, числа в другую: \(5x + 3x \le -5 - 3\)

\(8x \le -8\)

Разделим на 8: \(x \le -1\)

3. Решите систему неравенств:

\( \begin{cases} 3x - 2 < 2 + 5x, \\ 8x > 15 - 2x \end{cases} \)

Решим первое неравенство: \(3x - 5x < 2 + 2 \Rightarrow -2x < 4\)

Разделим на -2 (знак меняется): \(x > -2\)

Решим второе неравенство: \(8x + 2x > 15 \Rightarrow 10x > 15\)

Разделим на 10: \(x > 1.5\)

Объединим решения: \(x > 1.5\)

4. Решите задачу:

Периметр прямоугольника равен 26 м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b - стороны прямоугольника.

Тогда: \( \begin{cases} 2(a + b) = 26, \\ a \cdot b = 40 \end{cases} \)

Из первого уравнения: \(a + b = 13 \Rightarrow b = 13 - a\)

Подставим во второе уравнение: \(a(13 - a) = 40\)

\(13a - a^2 = 40 \Rightarrow a^2 - 13a + 40 = 0\)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9\)

\( a_1 = \frac{13 + \sqrt{9}}{2} = \frac{13 + 3}{2} = 8\)

\( a_2 = \frac{13 - \sqrt{9}}{2} = \frac{13 - 3}{2} = 5\)

Найдем соответствующие значения b:

\( b_1 = 13 - 8 = 5\)

\( b_2 = 13 - 5 = 8\)

Стороны прямоугольника: 5 м и 8 м.

5. Найдите множество решений неравенства:

1) \(\frac{2x}{5} - \frac{x+4}{10} + \frac{x-1}{15} > 0\)

Приведем к общему знаменателю (30):

\(\frac{12x - 3(x+4) + 2(x-1)}{30} > 0\)

\(\frac{12x - 3x - 12 + 2x - 2}{30} > 0\)

\(\frac{11x - 14}{30} > 0\)

\(11x - 14 > 0\)

\(11x > 14\)

\(x > \frac{14}{11}\)