Контрольная работа по теме « Системы линейных уравнений» Вариант 2 №1. Какая из пар чисел (1;3), (0;1/5), (2;-1) является решением системы (3x + 5y = 1, {4x + 9y = -1. №2. Решить систему уравнений способом подстановки (x – 3y = 4, (2x - y = 3. №3. Решить систему уравнений способом сложения {4x + 2y = 5, -4x+6y = 7. №4. Решить систему уравнений (2(5x - 2y) + 24 = 4x - y, 4 - (x - y) = 3y - 2. №5. Три яблока и две груши весят вместе 1 кг 200 г, а два яблока и три груши весят 1 кг 300 г. Сколько весит яблоко и сколько весит груша?

Ответ: №1: (2;-1), №2: (1; -1), №3: (1/2; 3/2), №4: (-1; -3), №5: Яблоко - 200г, груша - 300г.

№1

Проверим, какая из предложенных пар чисел является решением системы уравнений: \[\begin{cases} 3x + 5y = 1, \\ 4x + 9y = -1. \end{cases}\]

• Подставим (1;3):

\[\begin{cases} 3 \cdot 1 + 5 \cdot 3 = 3 + 15 = 18
eq 1, \\ 4 \cdot 1 + 9 \cdot 3 = 4 + 27 = 31
eq -1. \end{cases}\]

• Подставим (0;1/5):

\[\begin{cases} 3 \cdot 0 + 5 \cdot \frac{1}{5} = 0 + 1 = 1, \\ 4 \cdot 0 + 9 \cdot \frac{1}{5} = 0 + \frac{9}{5} = \frac{9}{5}
eq -1. \end{cases}\]

• Подставим (2;-1):

\[\begin{cases} 3 \cdot 2 + 5 \cdot (-1) = 6 - 5 = 1, \\ 4 \cdot 2 + 9 \cdot (-1) = 8 - 9 = -1. \end{cases}\]

Следовательно, решением системы является пара чисел (2;-1).

Ответ: (2;-1)

№2

Решим систему уравнений способом подстановки: \[\begin{cases} x - 3y = 4, \\ 2x - y = 3. \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = 4 + 3y.

Подставим это выражение во второе уравнение: 2(4 + 3y) - y = 3, 8 + 6y - y = 3, 5y = -5, y = -1.

Теперь найдем x: x = 4 + 3(-1) = 4 - 3 = 1.

Ответ: (1; -1)

№3

Решим систему уравнений способом сложения: \[\begin{cases} 4x + 2y = 5, \\ -4x + 6y = 7. \end{cases}\]

Сложим два уравнения: (4x + 2y) + (-4x + 6y) = 5 + 7, 8y = 12, y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.

Теперь найдем x: 4x + 2(\frac{3}{2}) = 5, 4x + 3 = 5, 4x = 2, x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

Ответ: (1/2; 3/2)

№4

Решим систему уравнений: \[\begin{cases} 2(5x - 2y) + 24 = 4x - y, \\ 4 - (x - y) = 3y - 2. \end{cases}\]

Упростим первое уравнение: 10x - 4y + 24 = 4x - y, 6x - 3y = -24, 2x - y = -8.

Упростим второе уравнение: 4 - x + y = 3y - 2, -x - 2y = -6, x + 2y = 6.

Теперь у нас система: \[\begin{cases} 2x - y = -8, \\ x + 2y = 6. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2: \[\begin{cases} 4x - 2y = -16, \\ x + 2y = 6. \end{cases}\]

Сложим два уравнения: 5x = -10, x = -2.

Теперь найдем y: -2 + 2y = 6, 2y = 8, y = 4.

Подставим x = -2 в первое уравнение: 2(-2) - y = -8, -4 - y = -8, y = 4.

Проверка: x + 2y = -2 + 2(4) = 6 - верно.

Ответ: (-2; 4)

№5

Пусть x - вес яблока, y - вес груши. Тогда: \[\begin{cases} 3x + 2y = 1200, \\ 2x + 3y = 1300. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3: \[\begin{cases} 6x + 4y = 2400, \\ 6x + 9y = 3900. \end{cases}\]

Вычтем из второго уравнения первое: 5y = 1500, y = 300.

Теперь найдем x: 3x + 2(300) = 1200, 3x + 600 = 1200, 3x = 600, x = 200.

Ответ: Яблоко - 200г, груша - 300г.