Контрольная работа по теме: " Теорема Пифагора" 1 вариант Найдите периметр треугольника. Нав прямоугольном треугольнике гипотенузаанаа один из катетов — 9 см. 2. Диагонали ромба равны 16 см и 8 см. Найдите сторону ромба. 3. Основания равнобокой трапеции равны 21 см и 11 см, а боковая сторона 13 см. Найдите диагональ трапеции. 4. В треугольнике АВС угол В = 90°, АС = 17 см, ВС = 8см. Найдите: 1) cos C; 2) ctg A. 5. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника MNK (угол N = 90°), если 5 MN = 10 cm, sink= 9 2 2 6. Найдите значение выражения cos 45° + sin sin 74° + cos 74° cos²

Решение:

Пусть a = 9 см, c = 41 см - гипотенуза. Найдем b по теореме Пифагора: a² + b² = c²

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1681 - 81} = \sqrt{1600} = 40\]

Периметр треугольника: P = a + b + c

\[P = 9 + 40 + 41 = 90\]

Ответ: 90 см

Решение:

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и пересекаются под прямым углом. Поэтому половинки диагоналей являются катетами прямоугольного треугольника, а сторона ромба — гипотенузой.

Пусть d1 = 16 см, d2 = 8 см. Тогда половинки диагоналей: d1/2 = 8 см, d2/2 = 4 см.

Сторона ромба a:

\[a = \sqrt{(d1/2)^2 + (d2/2)^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\]

Ответ: \[4\sqrt{5}\] см

Решение:

Пусть a = 21 см, b = 11 см, c = 13 см.

Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. Получим прямоугольный треугольник, где гипотенуза - боковая сторона трапеции, а один из катетов - разность полусумм оснований.

Длина этого катета x:

\[x = \frac{a - b}{2} = \frac{21 - 11}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

Высота трапеции h:

\[h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю трапеции, высотой и частью нижнего основания. Длина этого основания y:

\[y = b + x = 11 + 5 = 16\]

Диагональ трапеции d:

\[d = \sqrt{h^2 + y^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\]

Ответ: 20 см

Решение:

Найдем AB по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

1. \[cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{17}\]

2. \[ctg A = \frac{AB}{BC} = \frac{15}{8}\]

Ответ: \[cos C = \frac{8}{17}, ctg A = \frac{15}{8}\]

Решение:

Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае, sin K = MN / MK, где MK - гипотенуза.

\[MK = \frac{MN}{sin K} = \frac{10}{\frac{5}{9}} = 10 \cdot \frac{9}{5} = 18\]

Ответ: 18 см

Решение:

Используем тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

\[cos^2 45° + sin^2 74° + cos^2 74° = cos^2 45° + (sin^2 74° + cos^2 74°) = cos^2 45° + 1\]

\[cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[cos^2 45° = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

\[\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\]

Ответ: 3/2