Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаКонтрольная работа по теме _Три... КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 (Тригонометрические уравнения) Решите уравнения: 1. 2 sin x + √2 = 0. Вариант 1 2. cos + +1=0. 3. sin²x 2cosx + 2 = 0. 4. sin x cos x + 2sin2x = cos² х. 5. Решите уравнение 3 sin²x4sin x cos x + 5 cos² x = 2. 6. Найдите корни уравнения sin 3x = cos 3x, принадле- жащие отрезку [0, 4]. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 (Тригонометрические уравнения) Решите уравнения: 1. 2 cos x + √3 = 0. Вариант 2 2. sin 2x +1=0. 3. cos2x + 3sin x 30. 4. 3sin2x = 2sin x cos x + cos² x. 5. Решите уравнение 5 sin² x 2sin x cos x +cos2x = 4. 6. Найдите корни уравнения sin 2x = √3 cos 2x, при- надлежащие отрезку [-1, 6].
Ответ:
Вариант 1
Краткое пояснение
-
1. 2 sin x + √2 = 0
Логика такая:
2 sin x = -√2
sin x = -√2 / 2
x = (-1)^n (-π/4) + πn, n ∈ Z
-
2. cos(x/2 + π/4) + 1 = 0
Разбираемся:
cos(x/2 + π/4) = -1
x/2 + π/4 = π + 2πn, n ∈ Z
x/2 = 3π/4 + 2πn, n ∈ Z
x = 3π/2 + 4πn, n ∈ Z
-
3. sin²x - 2cos x + 2 = 0
Смотри, тут всё просто:
1 - cos²x - 2cos x + 2 = 0
- cos²x - 2cos x + 3 = 0
cos²x + 2cos x - 3 = 0
Пусть t = cos x, тогда t² + 2t - 3 = 0
D = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16
t1 = (-2 + √16) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 1
t2 = (-2 - √16) / 2 = (-2 - 4) / 2 = -3 (не подходит, так как |cos x| ≤ 1)
cos x = 1
x = 2πn, n ∈ Z
-
4. sin x cos x + 2sin²x = cos² x
Делим обе части уравнения на cos² x (если cos x ≠ 0):
tg x + 2tg²x = 1
2tg²x + tg x - 1 = 0
Пусть t = tg x, тогда 2t² + t - 1 = 0
D = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9
t1 = (-1 + √9) / 4 = (-1 + 3) / 4 = 1/2
t2 = (-1 - √9) / 4 = (-1 - 3) / 4 = -1
tg x = 1/2
x = arctg(1/2) + πn, n ∈ Z
tg x = -1
x = -π/4 + πn, n ∈ Z
-
5. 3 sin²x - 4sin x cos x + 5 cos² x = 2
Преобразуем:
3 sin²x - 4sin x cos x + 5 cos² x = 2(sin²x + cos²x)
3 sin²x - 4sin x cos x + 5 cos² x = 2sin²x + 2cos²x
sin²x - 4sin x cos x + 3 cos² x = 0
Делим обе части уравнения на cos² x (если cos x ≠ 0):
tg²x - 4tg x + 3 = 0
Пусть t = tg x, тогда t² - 4t + 3 = 0
D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
t1 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3
t2 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1
tg x = 3
x = arctg(3) + πn, n ∈ Z
tg x = 1
x = π/4 + πn, n ∈ Z
-
6. sin 3x = cos 3x, принадлежащие отрезку [0, 4]
Разделим обе части уравнения на cos 3x (если cos 3x ≠ 0):
tg 3x = 1
3x = π/4 + πn, n ∈ Z
x = π/12 + πn/3, n ∈ Z
Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [0, 4]:
0 ≤ π/12 + πn/3 ≤ 4
0 ≤ 1/12 + n/3 ≤ 4/π
-1/12 ≤ n/3 ≤ 4/π - 1/12
-3/12 ≤ n ≤ 12/π - 3/12
-0.25 ≤ n ≤ 12/3.14 - 0.25
-0.25 ≤ n ≤ 3.82 - 0.25
-0.25 ≤ n ≤ 3.57
n = 0, 1, 2, 3
x1 = π/12
x2 = π/12 + π/3 = 5π/12
x3 = π/12 + 2π/3 = 9π/12 = 3π/4
x4 = π/12 + 3π/3 = 13π/12
Вариант 2
Краткое пояснение
-
1. 2 cos x + √3 = 0
Логика такая:
2 cos x = -√3
cos x = -√3 / 2
x = ±5π/6 + 2πn, n ∈ Z
-
2. sin(2x - π/3) + 1 = 0
Разбираемся:
sin(2x - π/3) = -1
2x - π/3 = -π/2 + 2πn, n ∈ Z
2x = -π/2 + π/3 + 2πn, n ∈ Z
2x = -π/6 + 2πn, n ∈ Z
x = -π/12 + πn, n ∈ Z
-
3. cos²x + 3sin x - 3 = 0
Смотри, тут всё просто:
1 - sin²x + 3sin x - 3 = 0
- sin²x + 3sin x - 2 = 0
sin²x - 3sin x + 2 = 0
Пусть t = sin x, тогда t² - 3t + 2 = 0
D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1
t1 = (3 + √1) / 2 = (3 + 1) / 2 = 2 (не подходит, так как |sin x| ≤ 1)
t2 = (3 - √1) / 2 = (3 - 1) / 2 = 1
sin x = 1
x = π/2 + 2πn, n ∈ Z
-
4. 3sin²x = 2sin x cos x + cos² x
Переносим все в одну часть:
3sin²x - 2sin x cos x - cos² x = 0
Делим обе части уравнения на cos² x (если cos x ≠ 0):
3tg²x - 2tg x - 1 = 0
Пусть t = tg x, тогда 3t² - 2t - 1 = 0
D = (-2)² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16
t1 = (2 + √16) / 6 = (2 + 4) / 6 = 1
t2 = (2 - √16) / 6 = (2 - 4) / 6 = -1/3
tg x = 1
x = π/4 + πn, n ∈ Z
tg x = -1/3
x = arctg(-1/3) + πn, n ∈ Z
-
5. 5 sin²x - 2sin x cos x + cos² x = 4
Преобразуем:
5 sin²x - 2sin x cos x + cos² x = 4(sin²x + cos²x)
5 sin²x - 2sin x cos x + cos² x = 4sin²x + 4cos²x
sin²x - 2sin x cos x - 3 cos² x = 0
Делим обе части уравнения на cos² x (если cos x ≠ 0):
tg²x - 2tg x - 3 = 0
Пусть t = tg x, тогда t² - 2t - 3 = 0
D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16
t1 = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 3
t2 = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -1
tg x = 3
x = arctg(3) + πn, n ∈ Z
tg x = -1
x = -π/4 + πn, n ∈ Z
-
6. sin 2x = √3 cos 2x, принадлежащие отрезку [-1, 6]
Разделим обе части уравнения на cos 2x (если cos 2x ≠ 0):
tg 2x = √3
2x = π/3 + πn, n ∈ Z
x = π/6 + πn/2, n ∈ Z
Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [-1, 6]:
-1 ≤ π/6 + πn/2 ≤ 6
-1 ≤ π/6 + πn/2 ≤ 6
-1 ≤ π(1/6 + n/2) ≤ 6
-1/π ≤ 1/6 + n/2 ≤ 6/π
-1/π - 1/6 ≤ n/2 ≤ 6/π - 1/6
2(-1/π - 1/6) ≤ n ≤ 2(6/π - 1/6)
-2/π - 1/3 ≤ n ≤ 12/π - 1/3
-2/3.14 - 1/3 ≤ n ≤ 12/3.14 - 1/3
-0.636 - 0.333 ≤ n ≤ 3.82 - 0.333
-0.969 ≤ n ≤ 3.487
n = 0, 1, 2, 3
x1 = π/6
x2 = π/6 + π/2 = 4π/6 = 2π/3
x3 = π/6 + π = 7π/6
x4 = π/6 + 3π/2 = 10π/6 = 5π/3
Быстрая проверка: Убедись, что найденные значения x удовлетворяют исходным уравнениям.
Редфлаг: Всегда проверяй, чтобы найденные корни действительно входили в заданный отрезок.
