Контрольная работа по теме: «Числовые последовательности» Вариант 2 1. (16) Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии(ап), если: А) a1=10, d=4 Б) а17-30, d=-10 2. (16) Найдите первый член арифметической прогрессии (an), если: А) a11=128, d=4 Б) а45=-208, d=-7 3. (16) Найдите сумму первых шестидесяти членов арифметической прогрессии(ап), если: A) a1=-10,5, a60=51,5 Вычислите суммы первых девяти членов арифметической прогрессии, если Б) а1=6,4 , d=0,8 4. (16) Выпишите первые пять членов геометрической прогрессии(bn), если: A) b1=6, q=4 Б) b1=-24, q=-1,5 5. (16) Найдите первый член геометрической прогрессии (bn), если: A) b6-3, q=3 Б) b5=17,5, q=-2,5 6. (16) Найдите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии(bn), если: A) b1=1, q=2 Найдите сумму суммы первых семи членов геометрической прогрессии: Б) 67-64 , q=0,5 7. (26) Решите задачу: В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра? 8. (26) Решите задачу: При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° С. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -8° С. 9. (26) Решите задачу: В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвертом ряду 23 места, а в восьмом ряду 35 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

1. Арифметическая прогрессия

А) Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии, если a1=10, d=4

Логика такая: Каждый следующий член прогрессии получается путем добавления разности d к предыдущему члену. Первый член: 10 Второй член: 10 + 4 = 14 Третий член: 14 + 4 = 18 Четвертый член: 18 + 4 = 22 Пятый член: 22 + 4 = 26

Ответ: 10, 14, 18, 22, 26

Б) Выпишите первые пять членов арифметической прогрессии, если a17=30, d=-10

Смотри, тут всё просто: Сначала найдем первый член прогрессии, используя формулу для n-го члена, а затем выпишем первые пять членов.

1. Найдем первый член (a1):

\[a_{17} = a_1 + (17-1)d\] \[30 = a_1 + 16(-10)\] \[30 = a_1 - 160\] \[a_1 = 30 + 160 = 190\]

2. Выпишем первые пять членов:

Первый член: 190 Второй член: 190 - 10 = 180 Третий член: 180 - 10 = 170 Четвертый член: 170 - 10 = 160 Пятый член: 160 - 10 = 150

Ответ: 190, 180, 170, 160, 150

2. Найдите первый член арифметической прогрессии

А) a11=128, d=4

Разбираемся: Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии. \[a_{11} = a_1 + (11-1)d\] \[128 = a_1 + 10 \cdot 4\] \[128 = a_1 + 40\] \[a_1 = 128 - 40 = 88\]

Ответ: 88

Б) a45=-208, d=-7

Логика такая: \[a_{45} = a_1 + (45-1)d\] \[-208 = a_1 + 44 \cdot (-7)\] \[-208 = a_1 - 308\] \[a_1 = -208 + 308 = 100\]

Ответ: 100

3. Найдите сумму первых шестидесяти членов арифметической прогрессии

А) a1=-10,5, a60=51,5

Смотри, как это работает: Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии. \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] \[S_{60} = \frac{-10.5 + 51.5}{2} \cdot 60\] \[S_{60} = \frac{41}{2} \cdot 60\] \[S_{60} = 20.5 \cdot 60 = 1230\]

Ответ: 1230

Б) Вычислите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если а1=6,4, d=0,8

Разбираемся:

1. Найдем девятый член (a9):

\[a_9 = a_1 + (9-1)d\] \[a_9 = 6.4 + 8 \cdot 0.8\] \[a_9 = 6.4 + 6.4 = 12.8\]

2. Найдем сумму первых девяти членов:

\[S_9 = \frac{a_1 + a_9}{2} \cdot 9\] \[S_9 = \frac{6.4 + 12.8}{2} \cdot 9\] \[S_9 = \frac{19.2}{2} \cdot 9\] \[S_9 = 9.6 \cdot 9 = 86.4\]

Ответ: 86.4

4. Выпишите первые пять членов геометрической прогрессии

А) b1=6, q=4

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на знаменатель (q). Первый член: 6 Второй член: 6 * 4 = 24 Третий член: 24 * 4 = 96 Четвертый член: 96 * 4 = 384 Пятый член: 384 * 4 = 1536

Ответ: 6, 24, 96, 384, 1536

Б) b1=-24, q=-1,5

Первый член: -24 Второй член: -24 * (-1.5) = 36 Третий член: 36 * (-1.5) = -54 Четвертый член: -54 * (-1.5) = 81 Пятый член: 81 * (-1.5) = -121.5

Ответ: -24, 36, -54, 81, -121.5

5. Найдите первый член геометрической прогрессии

А) b6=3, q=3

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\] \[3 = b_1 \cdot 3^{6-1}\] \[3 = b_1 \cdot 3^5\] \[3 = b_1 \cdot 243\] \[b_1 = \frac{3}{243} = \frac{1}{81}\]

Ответ: 1/81

Б) b5=17,5, q=-2,5

\[17.5 = b_1 \cdot (-2.5)^{5-1}\] \[17.5 = b_1 \cdot (-2.5)^4\] \[17.5 = b_1 \cdot 39.0625\] \[b_1 = \frac{17.5}{39.0625} = 0.448\]

Ответ: 0.448

6. Найдите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии

А) b1=1, q=2

Сумма n первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\] \[S_9 = \frac{1(2^9 - 1)}{2 - 1}\] \[S_9 = \frac{512 - 1}{1} = 511\]

Ответ: 511

Б) Найдите сумму суммы первых семи членов геометрической прогрессии: b7=64 , q=0,5

1. Найдем первый член (b1):

\[b_7 = b_1 \cdot q^{7-1}\] \[64 = b_1 \cdot (0.5)^6\] \[64 = b_1 \cdot \frac{1}{64}\] \[b_1 = 64 \cdot 64 = 4096\]

2. Найдем сумму первых семи членов:

\[S_7 = \frac{b_1(1 - q^7)}{1 - q}\] \[S_7 = \frac{4096(1 - (0.5)^7)}{1 - 0.5}\] \[S_7 = \frac{4096(1 - \frac{1}{128})}{0.5}\] \[S_7 = \frac{4096(\frac{127}{128})}{0.5}\] \[S_7 = 4096 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2\] \[S_7 = 32 \cdot 127 \cdot 2 = 8128\]

Ответ: 8128

7. Задача про амфитеатр

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра? \[a_n = a_1 + (n-1)d\] \[a_{10} = 16 + (10-1) \cdot 3\] \[a_{10} = 16 + 9 \cdot 3\] \[a_{10} = 16 + 27 = 43\]

Ответ: 43

8. Задача про охлаждение вещества

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° С. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минуты после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -8° С. Общее уменьшение температуры за 9 минут: 9 * 5 = 45 градусов. Температура через 9 минут: -8 - 45 = -53 градуса.

Ответ: -53

9. Задача про амфитеатр (с арифметической прогрессией)

В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвертом ряду 23 места, а в восьмом ряду 35 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

1. Определим разность арифметической прогрессии (d). Известно, что a4 = 23 и a8 = 35. Разность между 8-м и 4-м членом составляет 4d, и она равна 35 - 23 = 12. Следовательно:

\[4d = 12\] \[d = \frac{12}{4} = 3\]

2. Найдем первый член арифметической прогрессии (a1). Используем формулу a4 = a1 + 3d:

\[23 = a_1 + 3 \cdot 3\] \[23 = a_1 + 9\] \[a_1 = 23 - 9 = 14\]

3. Найдем количество мест в последнем ряду (a16). Используем формулу an = a1 + (n-1)d:

\[a_{16} = 14 + (16-1) \cdot 3\] \[a_{16} = 14 + 15 \cdot 3\] \[a_{16} = 14 + 45 = 59\]

Ответ: 59