Решение задач:

1. 1. Найдите координаты и длину вектора $$\vec{c}$$, если $$\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{p}$$, $$\vec{a}{6; -2}, \vec{p}{1; -2}$$

   Найдем координаты вектора $$\vec{c}$$:

   $$\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{p} = \frac{1}{2}(6; -2) - (1; -2) = (3; -1) - (1; -2) = (3-1; -1-(-2)) = (2; 1)$$

   Координаты вектора $$\vec{c}$$ равны (2; 1).

   Найдем длину вектора $$\vec{c}$$:

   $$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$

   Ответ: Координаты вектора $$\vec{c}(2; 1)$$, длина вектора $$|\vec{c}| = \sqrt{5}$$.

2. 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (1; 3) и В (-2; -3).

   Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

   $$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$$

   Подставим координаты точек А(1; 3) и В(-2; -3):

   $$\frac{x - 1}{-2 - 1} = \frac{y - 3}{-3 - 3}$$ $$\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 3}{-6}$$

   Умножим обе части уравнения на -6:

   $$2(x - 1) = y - 3$$ $$2x - 2 = y - 3$$ $$2x - y + 1 = 0$$

   Ответ: Уравнение прямой: $$2x - y + 1 = 0$$.

3. 3. Напишите уравнение окружности с центром в точке С (2; 2), проходящей через точку В (5; 5).

   Уравнение окружности с центром в точке C(a; b) и радиусом R имеет вид:

   $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$

   Найдем радиус R, как расстояние между точками C(2; 2) и B(5; 5):

   $$R = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$$

   Подставим координаты центра C(2; 2) и радиус $$R = \sqrt{18}$$ в уравнение окружности:

   $$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{18})^2$$ $$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 18$$

   Ответ: Уравнение окружности: $$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 18$$.

4. 4. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (2;2); В (6; 5); C (5; -2).

   а. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.

   Найдем длины сторон треугольника АВС:

   $$AB = \sqrt{(6 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ $$BC = \sqrt{(5 - 6)^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$$ $$AC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

   Так как AB = AC = 5, то треугольник АВС – равнобедренный.

   Ответ: Треугольник ABC - равнобедренный, т.к. AB = AC = 5.

   b. Найдите биссектрису, проведённую из вершины А.

   К сожалению, для решения этой задачи недостаточно информации. Чтобы найти уравнение биссектрисы, нужно знать дополнительные данные, например, угол между сторонами или координаты точки пересечения биссектрисы с противоположной стороной.

   Ответ: Невозможно найти биссектрису, проведённую из вершины А, без дополнительных данных.

5. 5. Найдите координаты точки А, лежащей на оси ординат и равноудалённой от точек В (1;-3) и С (2;0).

   Так как точка А лежит на оси ординат, её координата x = 0. Пусть A(0; y).

   Расстояние от точки А до точки В должно быть равно расстоянию от точки А до точки С:

   $$AB = AC$$ $$\sqrt{(1 - 0)^2 + (-3 - y)^2} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - y)^2}$$

   Возведем обе части уравнения в квадрат:

   $$(1 - 0)^2 + (-3 - y)^2 = (2 - 0)^2 + (0 - y)^2$$ $$1 + (y + 3)^2 = 4 + y^2$$ $$1 + y^2 + 6y + 9 = 4 + y^2$$ $$y^2 + 6y + 10 = y^2 + 4$$ $$6y = 4 - 10$$ $$6y = -6$$ $$y = -1$$

   Координаты точки А: (0; -1).

   Ответ: Координаты точки А: (0; -1).