Контрольные задания > Контрольная работа по теме: «Дробные рациональные уравнения» Вариант 1 1. Решите уравнение: a) 1+3y_5-2y. 1-3y 1+2y 2 1 4-x б)²+14x+24=0 B) रख देख x²-4 x²-2x x²+2x 2.1) Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3км/ч, он всё же на обратный путь затратил времени на 10мин меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В? 2.2) Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй - 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? 2. 3) Катер прошёл 12км против течения реки и 5км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что стечения реки равна 3км/ч.
Вопрос:

Контрольная работа по теме: «Дробные рациональные уравнения» Вариант 1 1. Решите уравнение: a) 1+3y_5-2y. 1-3y 1+2y 2 1 4-x б)²+14x+24=0 B) रख देख x²-4 x²-2x x²+2x 2.1) Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3км/ч, он всё же на обратный путь затратил времени на 10мин меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В? 2.2) Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй - 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? 2. 3) Катер прошёл 12км против течения реки и 5км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что стечения реки равна 3км/ч.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Разбираем контрольную работу по уравнениям. Сейчас решим все задания по порядку.

1. Решите уравнение:

a) \[\frac{1+3y}{1-3y} = \frac{5-2y}{1+2y}\]

Краткое пояснение: Решаем уравнение методом пропорций.

  1. Перемножаем крест-накрест числитель первой дроби на знаменатель второй и наоборот:

    \[(1+3y)(1+2y) = (5-2y)(1-3y)\]

  2. Раскрываем скобки:

    \[1 + 2y + 3y + 6y^2 = 5 - 15y - 2y + 6y^2\]

  3. Упрощаем уравнение:

    \[1 + 5y + 6y^2 = 5 - 17y + 6y^2\]

  4. Переносим все члены в одну сторону:

    \[6y^2 - 6y^2 + 5y + 17y = 5 - 1\]

  5. Приводим подобные:

    \[22y = 4\]

  6. Решаем относительно y:

    \[y = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}\]

Ответ: \[y = \frac{2}{11}\]

б) \[\frac{x^2+14x+24}{x-2} = 0\]

Краткое пояснение: Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

  1. Приравниваем числитель к нулю:

    \[x^2 + 14x + 24 = 0\]

  2. Решаем квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант:

    \[D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100\]

  3. Теперь найдем корни уравнения:

    \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

    \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 10}{2} = \frac{-24}{2} = -12\]

  4. Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю:

    \[x - 2
    eq 0 \Rightarrow x
    eq 2\]

  5. Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: \[x_1 = -2, \quad x_2 = -12\]

в) \[\frac{2}{x^2-4} - \frac{1}{x^2-2x} = \frac{4-x}{x^2+2x}\]

Краткое пояснение: Решаем уравнение, приводя к общему знаменателю.

  1. Разложим знаменатели на множители:

    \[x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\]

    \[x^2 - 2x = x(x-2)\]

    \[x^2 + 2x = x(x+2)\]

  2. Приведем дроби к общему знаменателю:

    \[\frac{2}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x(x-2)} = \frac{4-x}{x(x+2)}\]

    \[\frac{2x - (x+2)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{(4-x)(x-2)}{x(x+2)(x-2)}\]

    \[\frac{2x - x - 2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{4x - 8 - x^2 + 2x}{x(x+2)(x-2)}\]

  3. Упрощаем числители:

    \[\frac{x - 2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{-x^2 + 6x - 8}{x(x+2)(x-2)}\]

  4. Приравниваем числители, так как знаменатели равны (с учетом ОДЗ):

    \[x - 2 = -x^2 + 6x - 8\]

  5. Переносим все члены в одну сторону:

    \[x^2 - 5x + 6 = 0\]

  6. Решаем квадратное уравнение:

    \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\]

    \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3\]

    \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2\]

  7. Проверяем ОДЗ: \(x
    eq 0, x
    eq 2, x
    eq -2\). Корень \(x_2 = 2\) не подходит.

Ответ: \[x = 3\]

2.1) Задача про велосипедиста

Краткое пояснение: Составляем уравнение на основе времени в пути туда и обратно.

  1. Обозначим скорость велосипедиста из A в B за \(v\) км/ч.

  2. Расстояние из A в B равно 27 км, а обратно - 20 км (27 - 7 = 20).

  3. Время из A в B: \(t_1 = \frac{27}{v}\).

  4. Скорость на обратном пути: \(v - 3\) км/ч.

  5. Время на обратном пути: \(t_2 = \frac{20}{v-3}\).

  6. Разница во времени: 10 минут = \(\frac{1}{6}\) часа.

  7. Уравнение: \(t_1 - t_2 = \frac{1}{6}\), то есть \(\frac{27}{v} - \frac{20}{v-3} = \frac{1}{6}\).

Решение уравнения
  1. Умножаем обе части уравнения на \(6v(v-3)\) для избавления от дробей:

    \[6 \cdot 27(v-3) - 6 \cdot 20v = v(v-3)\]

  2. Раскрываем скобки:

    \[162(v-3) - 120v = v^2 - 3v\]

    \[162v - 486 - 120v = v^2 - 3v\]

  3. Упрощаем:

    \[42v - 486 = v^2 - 3v\]

  4. Приводим к квадратному уравнению:

    \[v^2 - 45v + 486 = 0\]

  5. Находим дискриминант:

    \[D = (-45)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 486 = 2025 - 1944 = 81\]

  6. Находим корни:

    \[v_1 = \frac{45 + \sqrt{81}}{2} = \frac{45 + 9}{2} = \frac{54}{2} = 27\]

    \[v_2 = \frac{45 - \sqrt{81}}{2} = \frac{45 - 9}{2} = \frac{36}{2} = 18\]

  7. Проверяем корни. Если скорость 18 км/ч, то на обратном пути скорость будет 15 км/ч. Если скорость 27 км/ч, то на обратном пути скорость будет 24 км/ч. Оба варианта подходят по смыслу задачи.

Ответ: Скорость велосипедиста из А в В равна 18 км/ч или 27 км/ч.

2.2) Задача про сплавы

Краткое пояснение: Составляем систему уравнений на основе массы и содержания никеля в сплавах.

  1. Пусть масса первого сплава \(x\) кг, а второго - \(y\) кг.

  2. Общая масса сплава 200 кг: \(x + y = 200\).

  3. Содержание никеля в первом сплаве: \(0.1x\), во втором: \(0.35y\).

  4. Общее содержание никеля: \(0.3 \cdot 200 = 60\) кг.

  5. Уравнение для никеля: \(0.1x + 0.35y = 60\).

  6. Система уравнений:

    \[\begin{cases} x + y = 200 \\ 0.1x + 0.35y = 60 \end{cases}\]

Решение системы уравнений
  1. Выражаем \(x\) из первого уравнения: \(x = 200 - y\).
  2. Подставляем во второе уравнение:

    \[0.1(200 - y) + 0.35y = 60\]

  3. Раскрываем скобки:

    \[20 - 0.1y + 0.35y = 60\]

  4. Упрощаем:

    \[0.25y = 40\]

  5. Находим \(y\):

    \[y = \frac{40}{0.25} = 160\]

  6. Находим \(x\):

    \[x = 200 - 160 = 40\]

  7. Находим разницу между массами: \(y - x = 160 - 40 = 120\).

Ответ: Масса первого сплава меньше массы второго на 120 кг.

2.3) Задача про катер

Краткое пояснение: Составляем уравнение на основе времени, затраченного катером на разные участки пути.

  1. Пусть собственная скорость катера \(v\) км/ч.

  2. Скорость против течения: \(v - 3\) км/ч, по течению: \(v + 3\) км/ч.

  3. Время против течения: \(\frac{12}{v-3}\), время по течению: \(\frac{5}{v+3}\).

  4. Время по озеру: \(\frac{18}{v}\).

  5. Уравнение: \(\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}\).

Решение уравнения
  1. Умножаем обе части уравнения на \(v(v-3)(v+3)\) для избавления от дробей:

    \[12v(v+3) + 5v(v-3) = 18(v-3)(v+3)\]

  2. Раскрываем скобки:

    \[12v^2 + 36v + 5v^2 - 15v = 18(v^2 - 9)\]

    \[17v^2 + 21v = 18v^2 - 162\]

  3. Приводим к квадратному уравнению:

    \[v^2 - 21v - 162 = 0\]

  4. Находим дискриминант:

    \[D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089 = 33^2\]

  5. Находим корни:

    \[v_1 = \frac{21 + \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\]

    \[v_2 = \frac{21 - \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

  6. Отрицательная скорость не имеет смысла.

Ответ: Собственная скорость катера равна 27 км/ч.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все уравнения решены верно и ответы соответствуют условиям задач.

Доп. профит: База: Всегда проверяй свои решения, подставляя полученные значения в исходные уравнения. Это поможет избежать ошибок.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю