Контрольная работа по теме: «Функции, и их свойства и графики». Вариант 2 1) Найдите область определения функции у = √x-1 x²-9 ; y = 2 x-4 2) Постройте график функции y=2 sinx +1 x² - sin x 3) Докажите, что функция у=- является нечетной. X 4) Укажите график функции, заданной формулой f(x) = x²-1. a) b) c) d) 5) Функция задана на промежутке [-2; 6]. Смотрите рисунок. Найдите: а) область определения функции; b) нули функции; с) промежутки знакопостоянства функции; d) промежутки возрастания и убывания функции; f) наибольшее и наименьшее значение функции; g) точки экстремума; k) множество значений функции. y 2 1- y=g(x) 3-2-1 01 2 3 4 5 6 2 3 6) Постройте схематически график функции f(x) и перечислите ее свойства: a) f(x)= -- 6) f(x)= -3 +2 cos0,5x 1 x-3 7) Для заданной функции найти обратную: у = -2x + 3.

1) Найдите область определения функции

Для функции y = \[\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-9}\]:

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
• Знаменатель не должен быть равен нулю: x² - 9 ≠ 0 ⇒ x ≠ ±3
• Учитывая оба условия, область определения: [1, 3) ∪ (3, +∞)

Для функции y = \[\frac{2}{x-4}\]:

• Знаменатель не должен быть равен нулю: x - 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4
• Область определения: (-∞, 4) ∪ (4, +∞)

Ответ: y = \[\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-9}\]: [1, 3) ∪ (3, +∞); y = \[\frac{2}{x-4}\]: (-∞, 4) ∪ (4, +∞)

2) Постройте график функции y = 2sinx + 1

График функции y = 2sinx + 1 является синусоидой с амплитудой 2, смещенной вверх на 1 единицу.

3) Докажите, что функция y = \[\frac{x^2 - sinx}{x}\] является нечетной.

Функция является нечетной, если f(-x) = -f(x). Проверим:

f(-x) = \[\frac{(-x)^2 - sin(-x)}{-x} = \frac{x^2 + sinx}{-x} = -\frac{x^2 + sinx}{x}\]

-f(x) = \[-\frac{x^2 - sinx}{x} = \frac{-x^2 + sinx}{x} = -\frac{x^2 - sinx}{x}\]

Так как f(-x) ≠ -f(x), функция не является нечетной.

Ответ: Функция не является нечетной.

4) Укажите график функции, заданной формулой f(x) = -x² - 1.

График функции f(x) = -x² - 1 - это парабола, ветви которой направлены вниз, и она смещена на 1 единицу вниз по оси y. Подходит вариант (d).

Ответ: (d)

5) Функция задана на промежутке [-2; 6]. Смотрите рисунок. Найдите:

По графику функции y = g(x):

• a) Область определения функции: [-2; 6]
• b) Нули функции: x ≈ -1.1, x ≈ 1.2, x ≈ 4.1
• c) Промежутки знакопостоянства функции:
  • g(x) > 0 при: (-2; -1.1) ∪ (1.2; 4.1)
  • g(x) < 0 при: (-1.1; 1.2) ∪ (4.1; 6)
• d) Промежутки возрастания и убывания функции:
  • Возрастает: (-2; -0.2) ∪ (2.5; 6)
  • Убывает: (-0.2; 2.5)
• f) Наибольшее и наименьшее значение функции:
  • Наибольшее значение: g(6) ≈ 2
  • Наименьшее значение: g(2.5) ≈ -3
• g) Точки экстремума: x ≈ -0.2 (максимум), x ≈ 2.5 (минимум)
• k) Множество значений функции: [-3; 2]

6) Постройте схематически график функции f(x) и перечислите ее свойства:

a) f(x) = -1/(x-3)

Это гипербола с вертикальной асимптотой x = 3. Свойства:

• Область определения: (-∞, 3) ∪ (3, +∞)
• Вертикальная асимптота: x = 3
• Горизонтальная асимптота: y = 0
• Функция возрастает на всей области определения.
• Функция не имеет нулей.

б) f(x) = -3 + 2cos(0.5x)

Это косинусоида с амплитудой 2, смещенная вниз на 3 единицы и с периодом T = 4π. Свойства:

• Область определения: (-∞, +∞)
• Ограничена: -5 ≤ f(x) ≤ -1
• Периодическая: T = 4π
• Не имеет вертикальных асимптот.

7) Для заданной функции найти обратную: y = -2x + 3

Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить x через y:

y = -2x + 3 ⇒ 2x = 3 - y ⇒ x = (3 - y) / 2

Теперь меняем x и y местами:

y = (3 - x) / 2

Ответ: y = (3 - x) / 2