Контрольная работа по теме «Комплексные числа» Вариант 1 1. i³ + i¹³ + i²³ + i³³ + i⁴³+ i⁵³ 2. Даны комплексные числа: z₁ = 2 - 3i, z₂ = i + 1, z₃ = -1-i. Вычислите: a) z₁+z₂; б) z₁ +z₃; в) z₁-z₂; г) z₂-z₃; д) z₁·z₂; е) z₃·z₂. 3. Вычислите: a) (3 + i)(3-i) - (6 + 2i) + 7; 4. Найти частное комплексных чисел: а) 5. Решите уравнения в комплексных числах: a) x² - 4x + 8 = 0; б) x²+6x+25=0

Привет! Сейчас мы вместе решим эту контрольную работу по комплексным числам. Будь внимателен и не торопись, у тебя всё получится!

1. Вычислим сумму степеней мнимой единицы:

Напомним, что i² = -1. Тогда:

• i³ = i² * i = -i
• i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1

Используем эти значения для упрощения выражений:

• i¹³ = (i⁴)³ * i = 1³ * i = i
• i²³ = (i⁴)⁵ * i³ = 1⁵ * (-i) = -i
• i³³ = (i⁴)⁸ * i = 1⁸ * i = i
• i⁴³ = (i⁴)¹⁰ * i³ = 1¹⁰ * (-i) = -i
• i⁵³ = (i⁴)¹³ * i = 1¹³ * i = i

Суммируем полученные значения:

i³ + i¹³ + i²³ + i³³ + i⁴³ + i⁵³ = -i + i - i + i - i + i = 0

Ответ: 0

2. Вычислим операции с комплексными числами:

Даны числа: z₁ = 2 - 3i, z₂ = i + 1, z₃ = -1 - i

• a) z₁ + z₂ = (2 - 3i) + (1 + i) = 2 + 1 - 3i + i = 3 - 2i
• б) z₁ + z₃ = (2 - 3i) + (-1 - i) = 2 - 1 - 3i - i = 1 - 4i
• в) z₁ - z₂ = (2 - 3i) - (1 + i) = 2 - 1 - 3i - i = 1 - 4i
• г) z₂ - z₃ = (1 + i) - (-1 - i) = 1 + 1 + i + i = 2 + 2i
• д) z₁ * z₂ = (2 - 3i) * (1 + i) = 2 * 1 + 2 * i - 3i * 1 - 3i * i = 2 + 2i - 3i - 3(-1) = 2 + 3 + 2i - 3i = 5 - i
• е) z₃ * z₂ = (-1 - i) * (1 + i) = -1 * 1 - 1 * i - i * 1 - i * i = -1 - i - i - (-1) = -1 + 1 - i - i = -2i

Ответы:

• a) 3 - 2i
• б) 1 - 4i
• в) 1 - 4i
• г) 2 + 2i
• д) 5 - i
• е) -2i

3. Вычислим выражение:

a) (3 + i)(3 - i) - (6 + 2i) + 7 = (9 - 3i + 3i - i²) - 6 - 2i + 7 = 9 - (-1) - 6 - 2i + 7 = 9 + 1 - 6 + 7 - 2i = 11 - 6 + 7 - 2i = 12 - 2i

Ответ: 12 - 2i

4. Найдем частное комплексных чисел:

а)

Чтобы разделить комплексные числа, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю:

= = = = \frac{1 - i}{2}

б) \( \frac{2 - 4i}{3 - 5i} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю (3 + 5i):

\( \frac{2 - 4i}{3 - 5i} = \frac{(2 - 4i)(3 + 5i)}{(3 - 5i)(3 + 5i)} = \frac{6 + 10i - 12i - 20i^2}{9 - 25i^2} = \frac{6 + 20 - 2i}{9 + 25} = \frac{26 - 2i}{34} = \frac{13 - i}{17} = \frac{13}{17} - \frac{1}{17}i \)

Ответы:

а)

б) \( \frac{13}{17} - \frac{1}{17}i \)

5. Решим уравнения в комплексных числах:

a) x² - 4x + 8 = 0

Вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 8 = 16 - 32 = -16

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными:

x = \( \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i \)

б) x² + 6x + 25 = 0

Вычислим дискриминант: D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * 25 = 36 - 100 = -64

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными:

x = \( \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{-6 \pm 8i}{2} = -3 \pm 4i \)

Ответы:

• a) x = 2 ± 2i
• б) x = -3 ± 4i