Контрольная работа по теме «Квадратные уравнения» Вариант 1 1. Решите уравнения: a) x²-9x=0 6) 5x2=0 в) х²-х-6=0 (решение с помощью теоремы Виета) г) 2х2-5x+2=0 (через дискриминант) 2. Периметр прямоугольника равен 24 см, а площадь — 32 см². Найдите длины сторон прямоугольника. 3. Решите уравнения: a) (x+3)²=16 б) (2x-1)(x+4)=0

1. Решите уравнения: а) x² - 9x = 0 Логика такая: Выносим x за скобки: x(x - 9) = 0 Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x = 0 или x - 9 = 0 x = 0 или x = 9 Ответ: x = 0, x = 9 б) 5x² = 0 Смотри, тут всё просто: Делим обе части на 5: x² = 0 x = 0 Ответ: x = 0 в) x² - x - 6 = 0 (решение с помощью теоремы Виета) Разбираемся: По теореме Виета: x₁ + x₂ = 1 x₁ \cdot x₂ = -6 Подбираем корни: x₁ = 3, x₂ = -2 Ответ: x = 3, x = -2 г) 2x² - 5x + 2 = 0 (через дискриминант) Логика такая: Вычисляем дискриминант: D = b² - 4ac = (-5)² - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 Находим корни: x = \frac{-b ± √D}{2a} = \frac{5 ± √9}{2 \cdot 2} = \frac{5 ± 3}{4} x₁ = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 x₂ = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} Ответ: x = 2, x = 0.5 2. Периметр прямоугольника равен 24 см, а площадь — 32 см². Найдите длины сторон прямоугольника. Пусть a и b - длины сторон прямоугольника. Периметр: 2(a + b) = 24, следовательно, a + b = 12 Площадь: a \cdot b = 32 Выразим b через a: b = 12 - a Подставим в уравнение площади: a(12 - a) = 32 12a - a² = 32 a² - 12a + 32 = 0 Решаем квадратное уравнение: D = (-12)² - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 a = \frac{-(-12) ± √16}{2 \cdot 1} = \frac{12 ± 4}{2} a₁ = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8 a₂ = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 Если a = 8, то b = 12 - 8 = 4 Если a = 4, то b = 12 - 4 = 8 Ответ: Длины сторон прямоугольника: 8 см и 4 см. 3. Решите уравнения: а) (x + 3)² = 16 Извлекаем квадратный корень из обеих частей: x + 3 = ±4 x = -3 ± 4 x₁ = -3 + 4 = 1 x₂ = -3 - 4 = -7 Ответ: x = 1, x = -7 б) (2x - 1)(x + 4) = 0 Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 2x - 1 = 0 или x + 4 = 0 2x = 1 или x = -4 x = \frac{1}{2} или x = -4 Ответ: x = 0.5, x = -4