Контрольная работа по теме "Линейные уравнения" Вариант-2 №1. Какая из пар чисел (1;3), (0;\frac{1}{5}), (2;-1) является решением системы (3x + 5y = 1, №2. Решить систему уравнений способом подстановки (4x + 9y = -1. (x - 3y = 4, (2x - y = 3. №3. Решить систему уравнений способом сложения (3x - y = 7, (2x + 3y = 1. №4. Решить задачу с помощью системы линейных уравнений. Катер за 3 часа по течению и 5 часов против течения проходит 76 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 6 часов по течению он проходит столько же, сколько за 9 часов против течения №5. График линейной функции проходит через точки А(4;-5) и В(-2;19). Задайте эту линейную функцию формулой.

№1

Проверим, какая из пар чисел является решением системы уравнений:

\[\begin{cases}3x + 5y = 1 \\4x + 9y = -1\end{cases}\]

• Пара (1;3):

\[\begin{cases}3(1) + 5(3) = 3 + 15 = 18
eq 1 \\4(1) + 9(3) = 4 + 27 = 31
eq -1\end{cases}\]

• Пара (0; \(\frac{1}{5}\)):

\[\begin{cases}3(0) + 5(\frac{1}{5}) = 0 + 1 = 1 \\4(0) + 9(\frac{1}{5}) = 0 + \frac{9}{5} = \frac{9}{5}
eq -1\end{cases}\]

• Пара (2;-1):

\[\begin{cases}3(2) + 5(-1) = 6 - 5 = 1 \\4(2) + 9(-1) = 8 - 9 = -1\end{cases}\]

Пара (2;-1) является решением системы.

Ответ: (2;-1)

№2

Решим систему уравнений способом подстановки:

\[\begin{cases}x - 3y = 4 \\2x - y = 3\end{cases}\]

• Выразим x из первого уравнения:

\[x = 3y + 4\]

• Подставим это выражение во второе уравнение:

\[2(3y + 4) - y = 3\]

\[6y + 8 - y = 3\]

\[5y = -5\]

\[y = -1\]

• Подставим значение y в выражение для x:

\[x = 3(-1) + 4\]

\[x = -3 + 4\]

\[x = 1\]

Ответ: x = 1, y = -1

№3

Решим систему уравнений способом сложения:

\[\begin{cases}3x - y = 7 \\2x + 3y = 1\end{cases}\]

• Умножим первое уравнение на 3:

\[9x - 3y = 21\]

• Сложим полученное уравнение со вторым уравнением:

\[(9x - 3y) + (2x + 3y) = 21 + 1\]

\[11x = 22\]

\[x = 2\]

• Подставим значение x в первое уравнение:

\[3(2) - y = 7\]

\[6 - y = 7\]

\[y = -1\]

Ответ: x = 2, y = -1

№4

Пусть v - собственная скорость катера, u - скорость течения.

Уравнения движения катера:

• По течению: (v + u)
• Против течения: (v - u)

Система уравнений:

\[\begin{cases}3(v + u) + 5(v - u) = 76 \\6(v + u) = 9(v - u)\end{cases}\]

• Раскроем скобки:

\[\begin{cases}3v + 3u + 5v - 5u = 76 \\6v + 6u = 9v - 9u\end{cases}\]

• Упростим:

\[\begin{cases}8v - 2u = 76 \\3v - 15u = 0\end{cases}\]

• Выразим v из второго уравнения:

\[3v = 15u\]

\[v = 5u\]

• Подставим в первое уравнение:

\[8(5u) - 2u = 76\]

\[40u - 2u = 76\]

\[38u = 76\]

\[u = 2\]

• Найдем v:

\[v = 5(2) = 10\]

Скорость течения: 2 км/ч, собственная скорость катера: 10 км/ч.

Ответ: Скорость течения: 2 км/ч, собственная скорость катера: 10 км/ч

№5

Дано две точки: A(4;-5) и B(-2;19).

Уравнение прямой имеет вид: y = kx + b.

• Подставим координаты точек в уравнение:

\[\begin{cases}-5 = 4k + b \\19 = -2k + b\end{cases}\]

• Вычтем из второго уравнения первое:

\[19 - (-5) = -2k - 4k + b - b\]

\[24 = -6k\]

\[k = -4\]

• Подставим k в первое уравнение:

\[-5 = 4(-4) + b\]

\[-5 = -16 + b\]

\[b = 11\]

Уравнение прямой: y = -4x + 11.

Ответ: y = -4x + 11