Контрольная работа по теме: «Многогранники». 10 класс. Вариант №2. 1) В прямой треугольной призме АВСА1В1С1 ∠ACB = 90°; AB = 13см; ВС = 12см наименьшая боковая грань квадрат. Найти площадь боковой поверхности призмы. 2) В правильной четырёхугольной пирамиде высота 50 = √6 см, угол наклона боковых рёбер к плоскости основания равен 60°; Найти боковое ребро пирамиды и её боковую поверхность. 3) Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а√2 и 2 а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите : а) меньшую высоту параллелограмма; б) угол между плоскостью АВС₁ и плоскость основания; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г) площадь поверхности параллелепипеда. 4) Ребро куба АВСDA1B1C1D₁равно а. Постройте сечение куба, проходящее через точку С и середину ребра AD параллельно прямой DA₁ и найдите площадь этого сечения.

1) В прямой треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ , где $$\angle ACB = 90^\circ$$, $$AB = 13 \text{ см}$$, $$BC = 12 \text{ см}$$ наименьшая боковая грань квадрат. Найти площадь боковой поверхности призмы.

Решение:

Найдем $$AC$$ по теореме Пифагора:

$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$

Так как наименьшая боковая грань квадрат, то $$CC_1 = BC = 12 \text{ см}$$

Площадь боковой поверхности призмы равна:

$$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (AB + BC + AC) \cdot CC_1 = (13 + 12 + 5) \cdot 12 = 30 \cdot 12 = 360 \text{ см}^2$$

Ответ: $$360 \text{ см}^2$$

2) В правильной четырёхугольной пирамиде высота $$SO = \sqrt{6} \text{ см}$$, угол наклона боковых рёбер к плоскости основания равен 60°; Найти боковое ребро пирамиды и её боковую поверхность.

Решение:

Пусть $$ABCD$$ - квадрат в основании пирамиды, $$O$$ - центр квадрата, $$SA$$ - боковое ребро пирамиды, $$\angle SAO = 60^\circ$$.

Из прямоугольного треугольника $$SAO$$ найдем $$AO$$:

$$AO = \frac{SO}{\tan \angle SAO} = \frac{\sqrt{6}}{\tan 60^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2} \text{ см}$$

Тогда $$AC = 2 \cdot AO = 2 \sqrt{2} \text{ см}$$

Сторона квадрата $$ABCD$$ равна:

$$AB = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \text{ см}$$

Из прямоугольного треугольника $$SAO$$ найдем $$SA$$:

$$SA = \frac{SO}{\sin \angle SAO} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{\frac{6}{3}} = 2 \sqrt{2} \text{ см}$$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Найдем апофему $$SK$$. Из прямоугольного треугольника $$SOK$$:

$$SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7} \text{ см}$$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

$$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot SK = \frac{1}{2} (4 \cdot AB) \cdot SK = \frac{1}{2} (4 \cdot 2) \cdot \sqrt{7} = 4 \sqrt{7} \text{ см}^2$$

Ответ: $$SA = 2 \sqrt{2} \text{ см}$$, $$S_{бок} = 4 \sqrt{7} \text{ см}^2$$

3) Основанием прямого параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ является параллелограмм $$ABCD$$, стороны которого равны $$a\sqrt{2}$$ и $$2a$$, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма.

Найдите :

а) меньшую высоту параллелограмма;

Решение:

Меньшая высота параллелограмма опущена на большую сторону. Пусть $$BH$$ - высота, опущенная на сторону $$AD$$. Тогда из прямоугольного треугольника $$ABH$$:

$$BH = AB \cdot \sin \angle BAH = a \sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = a \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a$$

Ответ: $$a$$

б) угол между плоскостью $$ABC_1$$ и плоскостью основания;

Решение:

Угол между плоскостью $$ABC_1$$ и плоскостью основания - это угол между $$C_1K$$ и $$CK$$, где $$C_1K$$ - высота, проведенная к $$AB$$ в треугольнике $$ABC_1$$, а $$CK$$ - высота, проведенная к $$AB$$ в треугольнике $$ABC$$. Так как $$CK$$ является высотой параллелограмма, проведенной к стороне $$AB$$, то $$CK = DH$$, где $$DH$$ высота проведенная к стороне $$AB$$ в параллелограмме $$ABCD$$. Найдем $$DH$$:

$$S_{ABCD} = AD \cdot BH = AB \cdot DH \implies DH = \frac{AD \cdot BH}{AB} = \frac{2a \cdot a}{a \sqrt{2}} = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2}$$

Так как $$CC_1 = BH = a$$, то $$C_1K = \sqrt{CK^2 + CC_1^2} = \sqrt{(a \sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a \sqrt{3}$$

Тогда $$\sin \angle C_1KC = \frac{CC_1}{C_1K} = \frac{a}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$\angle C_1KC = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$$

в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;

Решение:

$$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (2a + a \sqrt{2} + 2a + a \sqrt{2}) \cdot a = (4a + 2a \sqrt{2}) \cdot a = (4a^2 + 2a^2 \sqrt{2})$$

Ответ: $$4a^2 + 2a^2 \sqrt{2}$$

г) площадь поверхности параллелепипеда.

Решение:

Площадь основания параллелепипеда:

$$S_{осн} = AD \cdot BH = 2a \cdot a = 2a^2$$

Площадь поверхности параллелепипеда:

$$S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 4a^2 + 2a^2 \sqrt{2} + 2 \cdot 2a^2 = 4a^2 + 2a^2 \sqrt{2} + 4a^2 = 8a^2 + 2a^2 \sqrt{2}$$

Ответ: $$8a^2 + 2a^2 \sqrt{2}$$

4) Ребро куба $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ равно $$a$$. Постройте сечение куба, проходящее через точку $$C$$ и середину ребра $$AD$$ параллельно прямой $$DA_1$$ и найдите площадь этого сечения.

Решение:

Пусть $$M$$ - середина ребра $$AD$$. Сечение проходит через точку $$C$$ и точку $$M$$ параллельно прямой $$DA_1$$. Значит, сечение - это трапеция $$CMNK$$, где $$N$$ - середина ребра $$B_1C_1$$, $$K$$ - середина ребра $$A_1B_1$$ и $$CN \parallel MK \parallel DA_1$$.

$$CM = NK = \sqrt{CD^2 + DM^2} = \sqrt{a^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2 + a^2/4} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$$

$$MN = a$$

Площадь трапеции равна:

$$S = \frac{1}{2} (CM + NK) \cdot MN = \frac{1}{2} (\frac{a \sqrt{5}}{2} + a) \cdot a = \frac{1}{2} (\frac{a \sqrt{5} + 2a}{2}) \cdot a = \frac{a^2 (\sqrt{5} + 2)}{4}$$

Ответ: $$\frac{a^2 (\sqrt{5} + 2)}{4}$$