Контрольная работа по теме «Многогранники». 10 класс Вариант І 1) Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань квадрат. 2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°. а) Найдите высоту пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3) Основание прямого параллелепипеда ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. Контрольная работа по теме «Многогранники». 10 класс Вариант ІІ 1) Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань квадрат. 2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3) Основание прямого параллелепипеда ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 16√2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипед

1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наибольшая боковая грань - квадрат.

Решение:

• Найдем гипотенузу треугольника по теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \,\text{см}\]

• Так как наибольшая боковая грань - квадрат, то высота призмы равна гипотенузе основания:

\[h = c = 10 \,\text{см}\]

• Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней:

\[S_{\text{бок}} = (a + b + c) \cdot h = (6 + 8 + 10) \cdot 10 = 24 \cdot 10 = 240 \,\text{см}^2\]

Ответ: 240 см²

2) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 45°.

а) Найдите высоту пирамиды.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

• Пусть a - сторона основания пирамиды, h - высота пирамиды, l - боковое ребро, образующее угол 45° с плоскостью основания.
• Тогда половина диагонали основания равна:

\[\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]

• Так как боковое ребро образует угол 45° с плоскостью основания, то высота пирамиды равна половине диагонали основания:

\[h = \frac{a\sqrt{2}}{2}\]

• По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной диагонали и боковым ребром:

\[l^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2h^2\] \[4^2 = 2h^2\] \[16 = 2h^2\] \[h^2 = 8\] \[h = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \,\text{см}\]

a) Высота пирамиды: \(2\sqrt{2}\) см

• Теперь найдем сторону основания a:

\[h = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] \[2\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] \[a = 4 \,\text{см}\]

• Площадь боковой поверхности пирамиды равна:

\[S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot h_{\text{апоф}}\]

• Найдем апофему h апоф по теореме Пифагора:

\[h_{\text{апоф}} = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 - \left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \,\text{см}\] \[S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \,\text{см}^2\]

б) Площадь боковой поверхности пирамиды: \(16\sqrt{3}\) см²

3) Основание прямого параллелепипеда ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение:

• Найдем сторону ромба a:

\[a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \,\text{см}\]

• Площадь ромба в основании параллелепипеда:

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \,\text{см}^2\]

• Найдем высоту параллелепипеда h. Так как меньшая диагональ параллелепипеда образует угол 45° с плоскостью основания, то высота равна проекции меньшей диагонали на плоскость основания:

\[h = d_{\text{мал}} \cdot \sin{45°} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \,\text{см}\]

• Площадь боковой поверхности параллелепипеда:

\[S_{\text{бок}} = 2P_{\text{осн}} \cdot h = 2 \cdot 4a \cdot h = 8 \cdot 13 \cdot 5\sqrt{2} = 520\sqrt{2} \,\text{см}^2\]

• Площадь полной поверхности параллелепипеда:

\[S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 120 + 520\sqrt{2} = 240 + 520\sqrt{2} \,\text{см}^2\]

Ответ: \(240 + 520\sqrt{2}\) см²

1) Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань квадрат.

Решение:

• Найдем второй катет треугольника по теореме Пифагора:

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \,\text{см}\]

• Так как наименьшая боковая грань - квадрат, то высота призмы равна меньшему катету основания:

\[h = b = 5 \,\text{см}\]

• Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней:

\[S_{\text{бок}} = (a + b + c) \cdot h = (12 + 5 + 13) \cdot 5 = 30 \cdot 5 = 150 \,\text{см}^2\]

Ответ: 150 см²

2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна \(\sqrt{6}\) см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.

а) Найдите боковое ребро пирамиды.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

• Пусть h - высота пирамиды, l - боковое ребро, образующее угол 60° с плоскостью основания.
• Обозначим половину диагонали основания пирамиды как x.

• Тогда:

\[\tan{60°} = \frac{h}{x}\] \[x = \frac{h}{\tan{60°}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \,\text{см}\]

• По теореме Пифагора найдем боковое ребро l:

\[l = \sqrt{h^2 + x^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \,\text{см}\]

а) Боковое ребро пирамиды: \(2\sqrt{2}\) см

• Найдем сторону основания a:

\[x = \frac{a\sqrt{2}}{2}\] \[a = \frac{2x}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \,\text{см}\]

• Найдем апофему h апоф по теореме Пифагора:

\[h_{\text{апоф}} = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - \left(\frac{2}{2}\right)^2} = \sqrt{8 - 1} = \sqrt{7} \,\text{см}\] \[S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot h_{\text{апоф}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7} \,\text{см}^2\]

б) Площадь боковой поверхности пирамиды: \(4\sqrt{7}\) см²

3) Основание прямого параллелепипеда ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна \(16\sqrt{2}\) см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение:

• Найдем половину меньшей диагонали ромба:

\[\frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \,\text{см}\]

• Найдем сторону ромба a, используя, что большая диагональ параллелепипеда образует угол 45° с боковым ребром:

\[a = \frac{d_2}{2} = \sqrt{(\frac{D}{2})^2 - (\frac{d_1}{2})^2} = \sqrt{\frac{(16\sqrt{2})^2}{4} - 6^2} = \sqrt{\frac{512}{4} - 36} = \sqrt{128 - 36} = \sqrt{92} = 2\sqrt{23} \,\text{см}\]

• Найдем площадь ромба в основании параллелепипеда:

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = d_1 a = 12 \cdot 2\sqrt{23} = 24\sqrt{23} \,\text{см}^2\]

• Найдем высоту параллелепипеда h:

\[h = d_2 \cdot \sin{45°} = 2a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{23} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{46} \,\text{см}\]

• Площадь боковой поверхности параллелепипеда:

\[S_{\text{бок}} = 2P_{\text{осн}} \cdot h = 2 \cdot 4a \cdot h = 8 \cdot 2\sqrt{23} \cdot \sqrt{46} = 16 \sqrt{23} \cdot \sqrt{46} = 16\sqrt{1058} = 16\sqrt{23 \cdot 46} \,\text{см}^2\]

• Площадь полной поверхности параллелепипеда:

\[S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 24\sqrt{23} + 16\sqrt{1058} = 48\sqrt{23} + 16\sqrt{1058} \,\text{см}^2\]

Ответ: \(48\sqrt{23} + 16\sqrt{1058}\) см²