Контрольная работа по теме «Многогранники». 10 класс Вариант II 1) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань - квадрат. 2) Высота правильной четырехугольной пирамиды равна \(\sqrt{6}\) см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3) Основание прямого параллелепипеда - ромб с меньшей диагональю 12 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 16√2 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

1. Площадь боковой поверхности призмы

Дано:

Прямая призма. Основание - прямоугольный треугольник.

Гипотенуза \(c = 13\) см.

Катет \(a = 12\) см.

Наименьшая боковая грань - квадрат.

Найти: Площадь боковой поверхности (S_бок).

Решение:

1. Найдем второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \( b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \) см.
2. Стороны основания призмы: 5 см, 12 см, 13 см.
3. Наименьшая боковая грань - квадрат. Это значит, что высота призмы равна наименьшей стороне основания. Высота \( h = 5 \) см.
4. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \)
5. Периметр основания: \( P_{осн} = a + b + c = 12 + 5 + 13 = 30 \) см.
6. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 30 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 150 \) см².

Ответ: 150 см².

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Высота \( H = \sqrt{6} \) см.

Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом \( \alpha = 60^{\circ} \).

Найти:

а) Боковое ребро (l).

б) Площадь боковой поверхности (S_бок).

Решение:

а) В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Центр вписанной окружности (точка О) является основанием высоты пирамиды. Точка М - середина стороны основания. Треугольник МОМ' (где М' - вершина пирамиды) - прямоугольный, где МО - высота пирамиды (\( H \)), М'О - радиус вписанной окружности (r), а М'М - апофема (k).

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 60°. На самом деле, в условии, скорее всего, имеется в виду угол наклона боковой грани к основанию, т.е. угол между апофемой и радиусом вписанной окружности, который равен 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом вписанной окружности (r) и боковым ребром (l). Угол между боковым ребром и основанием - это угол между боковым ребром и его проекцией на основание (диагональю квадрата). Так как пирамида правильная, вершина проецируется в центр квадрата. Радиус описанной окружности (R) равен половине диагонали квадрата. Угол наклона бокового ребра к основанию равен углу между боковым ребром и радиусом описанной окружности.

\( R = \frac{d}{2} \), где \( d \) - диагональ основания. \( \text{tg}(60^{\circ}) = \frac{H}{R} \)

\( R = \frac{H}{\text{tg}(60^{\circ})} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \) см.

Диагональ основания \( d = 2R = 2\sqrt{2} \) см.

Сторона основания квадрата \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \) см.

Теперь найдем боковое ребро \( l \) по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой (H), радиусом описанной окружности (R) и боковым ребром (l):

\( l^2 = H^2 + R^2 = (\sqrt{6})^2 + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2 = 8 \)

\( l = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) см.

б) Для нахождения площади боковой поверхности найдем апофему (k) - высоту боковой грани.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом вписанной окружности (r) и апофемой (k).

\( r = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) см.

\( k^2 = H^2 + r^2 = (\sqrt{6})^2 + 1^2 = 6 + 1 = 7 \)

\( k = \sqrt{7} \) см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot k \).

Периметр основания: \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 2 = 8 \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot \sqrt{7} \text{ см} = 4\sqrt{7} \) см².

Ответ: а) \( 2\sqrt{2} \) см. б) \( 4\sqrt{7} \) см².

3. Площадь полной поверхности параллелепипеда

Дано:

Прямой параллелепипед.

Основание - ромб.

Меньшая диагональ ромба \( d_1 = 12 \) см.

Большая диагональ параллелепипеда \( D = 16\sqrt{2} \) см.

Угол между большей диагональю параллелепипеда и боковым ребром \( \gamma = 45^{\circ} \).

Найти: Площадь полной поверхности (S_полн).

Решение:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половина меньшей диагонали \( \frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) см.
2. Пусть \( d_2 \) - большая диагональ ромба. Обозначим половину большей диагонали как \( \frac{d_2}{2} \).
3. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей ромба и стороной ромба (a), по теореме Пифагора: \( a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 6^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный большей диагональю параллелепипеда (D), его проекцией на основание (большой диагональю основания \( d_2 \)) и боковым ребром (h).
5. Угол между большей диагональю параллелепипеда и боковым ребром равен 45°. В прямоугольном треугольнике, образованном D, \( d_2 \) и h, угол между D и h равен 45°.
6. В этом треугольнике \( \text{cos}(45^{\circ}) = \frac{h}{D} \) и \( \text{sin}(45^{\circ}) = \frac{d_2}{D} \).
7. Отсюда найдем боковое ребро (высоту параллелепипеда): \( h = D \cdot \text{cos}(45^{\circ}) = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \) см.
8. Найдем большую диагональ основания: \( d_2 = D \cdot \text{sin}(45^{\circ}) = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \) см.
9. Теперь найдем половину большей диагонали ромба: \( \frac{d_2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.
10. Найдем сторону ромба (a): \( a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) \( a = 10 \) см.
11. Площадь боковой поверхности параллелепипеда: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \).
12. Периметр основания (ромба): \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 10 = 40 \) см.
13. \( S_{бок} = 40 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 640 \) см².
14. Площадь основания (ромба): \( S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 96 \) см².
15. Площадь полной поверхности параллелепипеда: \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \)
16. \( S_{полн} = 640 \text{ см}^2 + 2 \cdot 96 \text{ см}^2 = 640 + 192 = 832 \) см².

Ответ: 832 см².