Контрольная работа по теме «Многогранники» Вариант №4

Задача №1.

Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Найти объем призмы, если ее высота равна 7 см.

Решение:

1. Найдем второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: \( b = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \) см.
2. Найдем площадь основания призмы: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \) см².
3. Найдем объем призмы: \( V = S_{осн} \cdot h = 24 \cdot 7 = 168 \) см³.

Ответ: 168 см³.

Задача №2.

Основание треугольной пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 6 см. Найти объем пирамиды, если ее высота равна 8 см.

Решение:

1. Найдем площадь основания пирамиды: \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9 \) см².
2. Найдем объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 8 = 3 \cdot 8 = 24 \) см³.

Ответ: 24 см³.

Задача №3.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4 см, 6 см, 9 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение:

1. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( S = 2(ab + bc + ac) \), где \( a, b, c \) — длины ребер.
2. Подставим значения: \( S = 2(4 \cdot 6 + 6 \cdot 9 + 4 \cdot 9) = 2(24 + 54 + 36) = 2(114) = 228 \) см².

Ответ: 228 см².

Задача №4.

В правильной четырехугольной пирамиде апофема (высота боковой грани правильной пирамиды) равна 6 м, сторона основания равна 8 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

1. Площадь основания пирамиды: \( S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \) м².
2. Площадь боковой поверхности пирамиды: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l \), где \( P \) — периметр основания, \( l \) — апофема.
3. Периметр основания: \( P = 4 \cdot 8 = 32 \) м.
4. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 6 = 16 \cdot 6 = 96 \) м².
5. Площадь полной поверхности пирамиды: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 64 + 96 = 160 \) м².

Ответ: 160 м².

Задача №5.

В правильной треугольной пирамиде высота равна 6 м, сторона основания равна 8 м. Найдите ее объем.

Решение:

1. Найдем площадь основания правильной треугольной пирамиды. Сторона основания \( a = 8 \) м. Площадь равностороннего треугольника: \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \) м².
2. Найдем объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 6 = 2 \cdot 16\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \) м³.

Ответ: \( 32\sqrt{3} \) м³.